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2016年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题解析
戴又发
（1）设函数
（A）函数（B）函数（C）函数（D）函数
O x y?f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图象如图所示，则
y f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点 f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点 f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点 f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点
解析：由导函数的图象得知导函数有3个不同零点，其中有一个是导函数图象与x轴的切点，不是函数
f(x)的极值点，所以函数f(x)有2个极值点；
?f(x)的拐点；
又因为导函数有2个极值点，当然是曲线y另外，导函数的图象还有1个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点处连续，所以该点也是曲线y故选（B）
?f(x)的1个拐点．
（2）已知函数exf(x,y)?x?yfx??fy??0
，则 （A）函数
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（B）函数fx??fy??0 （C）函数fx??fy??f （D）函数
fx??fy??f
x解析：由f(x,y)?e得 (x?y)ex?exexx?yfx??(x?y)2，fy??(x?y)2 于是(x?y)ex?exexfx??fy??(x?y)2?(x?y)2?f，故选 （D）
（3）设Ji???3x?ydxdy(i?1,2,3)，其中D1??(x,y)0?x?1,0?y?1?DiD2??(x,y)0?x?1,0?y?x?，D3??(x,y)0?x?1,x2?y?1?，则 （A）J1?J2?J3 （B）J3?J1?J2 （C）J2?J3?J1 （D）J2?J1?J3
解析：在平面坐标系中，D2,D1,D3所表示的区域分别为：
y y 1 D1 1 D2 y
1 D3
O 1 x O 1 x O 1 x
在区域D1?D2上，y?x，于是3x?y?0，即J1?J2； 在区域D1?D3上，y?x，于是3x?y?0，即J1?J3； 所以J3?J1?J2，故选（B）
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11?)sin(n?k)，（4）级数?(（k为常数） nn?1n?1（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散
（D）收敛性与k有关
?11sin(n?k)?)sin(n?k)??解析：由?( nn?1nn?1(n?n?1)n?1n?1?? 因为sin(n?k)11?? nn?1(n?n?1)nn?1(n?n?1)nn 所以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛．故选（A）
（5）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是
（A）A与B相似 （B）A与B相似 （C）A?（D）A??1?1TTAT与B?BT相似 A?1与B?B?1相似
?1解析：由A与B相似的定义，存在可逆矩阵P，使得P 对于（A），因为(P 对于（B），因为(P 对于（D），因为P所以A? 故选（C）
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?1AP?B．
AP)T?BT得PTAT(PT)?1?BT，所以AT与BT相似；
?1AP)?1?B?1得P?1A?1P?B?1，所以A?1与B?1相似；
?1(A?A?1)P?P?1AP?P?1A?1P?B?B?1，
A?1与B?B?1相似．
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（6）设二次型
22f(x1,x2,x3)?a(x12?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正负惯性指
数分别为1,2，则
（A）a?1 （B）a??2 （C）?2?a?1 （D）a?1或a??2 解析：考虑用特殊值法．当a?0时，f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3，
?011???其矩阵为?101?，由此求得特征值为2,?1,?1，满足正惯性指数为1, 负惯性指数
?110???为2，即a?0成立．
故选（C）
（7）设A,B为两个随机事件，且0?（A）P(BP(A)?1,0?P(B)?1，如果P(AB)?1，则 A)?1 ?0 ?1
（B）P(AB)（C）P(A?B)（D）P(BA)?1 解析：由P(AB)?1知，P(AB)?P(B)，P(A?B)?P(A)． P(BA)?故选（A）
P(AB)P(A?B)1?P(A?B)???1． 1?P(A)1?P(A)P(A).
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（8）设随机变量X与Y互相独立，且X（A）6 （B）8 （C）14 （D）15
解析：由随机变量X与Y互相独立，则
~N(1,2)，Y~N(1,4)，则D(XY)?
D(XY)?E(XY)2?[E(XY)]2?EX2?EY2?(EX?EY)2
?[DX?(EX)2]?[DY?(EY)2]?(EX?EY)2 ?(2?12)?(4?12)?(1?1)2?14．
故选（C）
（9）已知函数f(x)满足limx?01?f(x)sin2x?1?2，则limf(x)? 3xx?0e?11?f(x)sin2x?1?2，用等价的无穷小替换， 解析：因为limx?0e3x?1当x?0时，e3x?1~3x，11?f(x)sin2x?1~f(x)sin2x 21f(x)sin2xf(x)2lim?2 lim?2于是有 ，即x?0x?033x所以limx?0f(x)?6，答案6
（10）极限lim112n(sin?2sin???nsin)? n??n2nnn解析：由lim112n(sin?2sin???nsin) n??n2nnn.
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