11
＝(a－5c)2＋ab＋＋a(a－b)＋ aba?a－b?≥0＋2＋2＝4，
当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1时，等号成立， 即取a＝2，b＝22
，c＝时满足条件． 25
8．(2020·唐山一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________． 答案 [4,12] 解析
∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而
x2＋4y2
， 2
x2＋4y2
2xy≤，
2
∴6－(x2＋4y2)≤
∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)． 又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，
即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12 (当且仅当x＝－2y时取等号)． 综上可知4≤x2＋4y2≤12.
9．(2020·潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则a2
的取值范围是________． b＋1
答案 (0，＋∞)
解析 ∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切， |b＋1＋a|∴d＝＝2，
2∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1， ?1－b?2?b＋1?2－4?b＋1?＋4a2
∴＝＝ b＋1b＋1b＋14＝(b＋1)＋－4≥24－4＝0.
b＋1又∵a，b为正实数，
a2∴的取值范围是(0，＋∞)． b＋1
11
10．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________．
ab答案 4
解析 由题意知3a·3b＝3，即3ab＝3，
＋
∴a＋b＝1，∵a>0，b>0， 1111?＋(a＋b) ∴＋＝?ab?ab?ba
＝2＋＋≥2＋2
ab
ba·＝4， ab
1
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2
*11.(2020·东莞调研)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线12
mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．
mn答案 8
解析 y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)， 由A在直线mx＋ny＋1＝0上． 则－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
122m＋n2?2m＋n?n4mn4m11∴＋＝＋＝＋＋4≥24＋4＝8(当且仅当＝，即m＝，n＝时等mnmnmnmn42号成立)．
12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； 11
(2)求＋的最小值．
xy解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20，
∴210xy≤20，xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，等号成立．
???2x＋5y＝20，?x＝5，因此有?解得?
?2x＝5y，???y＝2，
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0， 1111?2x＋5y
＋·∴＋＝? xy?xy?205y2x11
7＋＋?≥?7＋2 ＝?xy?20?20?
5y2x?· xy?＝
7＋210
， 20
5y2x
当且仅当＝时，等号成立．
xy
?
由?5y2x??x＝y，?2x＋5y＝20，
1010－20
?x＝，?3解得?
20－410y＝.??3
7＋21011
∴＋的最小值为. xy20
13．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅1
游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
t(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值． 1
解 (1)W(t)＝f(t)g(t)＝(4＋)(120－|t－20|)
t
?＝?140
559＋－4t， 20 (2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋ 100 401＋4t＋， 1≤t≤20， t 100 ≥401＋2t100 4t·＝441(t＝5时取最小值)． t 140 当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减， t2 所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443， 3所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元． 14．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：x2 千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时 36014元． (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 130 解 (1)设所用时间为t＝(h)， x 130x2130 y＝×2×(2＋)＋14×，x∈[50,100]． x360x所以这次行车总费用y关于x的表达式是 2 34013y＝＋x，x∈[50,100]． x182 34013x(2)y＝＋≥2610， x18 2 34013x 当且仅当＝，即x＝1810时，等号成立． x18 故当x＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．
湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：7.4 基本不等式及其应用
