湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：7.4 基本不等式及其应用

第七章 不等式 7.4基本不等式及其应用

课

内

基

础

通

关

a＋b

1．基本不等式ab≤

2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． ba

(2)＋≥2(a，b同号)． ab

(3)ab≤?

a＋b?2

?2? (a，b∈R)．

a2＋b2?a＋b?2(4)≥2?2? (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个

2正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) p2

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

4

课外知识延伸

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立?f(x)min>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立?f(x)max>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)

(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立?f(x)>A的解集为D； 不等式f(x)

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1

(1)函数y＝x＋的最小值是2.( × )

x(2)函数f(x)＝cos x＋

4π

，x∈(0，)的最小值等于4.( × ) cos x2

xy

(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × )

yx1

(4)若a>0，则a3＋2的最小值为2a.( × )

a

a＋b

(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥ab有相同的成立条件．( × )

2

(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )

点自查

1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82 答案 C

x＋y

解析 ∵x>0，y>0，∴≥xy，

2x＋y2

即xy≤()＝81，

2

当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.

a

2．(教材改编)已知x>0，a>0，当y＝x＋取最小值时，x的值为( )

xA．1 B．a C.a D．2a 答案 C

a

解析 y＝x＋≥2a，

xa

当且仅当x＝即x＝a时，

xa

y＝x＋有最小值2a.

x

3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) 11A.≤ ab4C.ab≥2 答案 D

11

解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，≥，选项A，

ab4

11B.＋≤1 abD．a2＋b2≥8