2019人教版精品教学资料·高中选修数学
2.3.2 离散型随机变量的方差
1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点) 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 离散型随机变量的方差的概念
阅读教材P64～P66上面第四自然段，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)
2
?x－E?X??pi为这些偏离程度的加权平均，?i＝刻画了随机变量X与其均值E(X)i＝1n
的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根D?X?为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
2．随机变量的方差与样本方差的关系
随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，
是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．
1．下列说法正确的有________(填序号)．
①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．
【解析】 ①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．
②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．
③错误．因为离散型随机变量的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．
④正确．由方差的意义可知． 【答案】 ④
1
2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝9，则ξ的标准差为________． 【解析】 ξ的标准差D?ξ?＝1
【答案】 3
3．已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ P －1 12 0 13 1 16 119＝3.
则ξ的均值为________，方差为________． 1111
【解析】 均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×2＋0×3＋1×6＝－3； 5
方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝9.
15
【答案】 －3 9
教材整理2 离散型随机变量的方差的性质
阅读教材P66第5自然段～P66探究，完成下列问题． 1．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 2．离散型随机变量方差的线性运算性质 设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
1．若随机变量X服从两点分布，且成功概率P＝0.5，则D(X)＝________，E(X)＝________.
【解析】 E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25. 【答案】 0.25 0.5
1
2．一批产品中，次品率为3，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________. 【导学号：97270050】
1?1?81??
【解析】 由题意知X～B?4，3?，所以D(X)＝4×3×?1－3?＝9. ????8
【答案】 9
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
离散型随机变量的方差的性质及应用
(1)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)
＝6，则p等于( )
1
A. 71C.5
(2)已知η的分布列为：
η P ①求方差及标准差； ②设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
【精彩点拨】 (1)利用二项分布的方差计算公式求解． (2)①利用方差、标准差定义求解； ②利用方差的线性运算性质求解．
6
【自主解答】 (1)np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝7， 1∴p＝7. 【答案】 A
12121
(2)①∵E(η)＝0×3＋10×5＋20×15＋50×15＋60×15＝16，
1212
D(η)＝(0－16)2×3＋(10－16)2×5＋(20－16)2×15＋(50－16)2×15＋(60－1
16)2×15＝384，
∴D?η?＝86.
0 13 10 25 20 115 50 215 60 115
1B. 6
1D.4 ②∵Y＝2η－E(η)， ∴D(Y)＝D(2η－E(η)) ＝22D(η)＝4×384＝1 536.
1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
2．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．
[再练一题]
1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为3
p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝2，求n，p的值．
【解】 由题意知，X服从二项分布B(n，p)， 3
由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝2， 1
得1－p＝2， 1
∴p＝2，n＝6.
求离散型随机变量的方差、标准差
编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学
生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
【精彩点拨】 首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E(ξ)和D(ξ)的值．
【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
2019人教版 高中数学 选修2-3 学案2.3.2 离散型随机变量的方差
