课时素养评价 九
平面向量数量积的坐标表示
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)设向量a=(1，0)，b=
，则下列结论中错误的是 ( )
A.|a|=|b| C.a∥b
B.a·b=
D.a-b与b垂直
【解析】选A、B、C.因为|a|=1，|b|=，所以|a|≠|b|.又a·b=1×+0×=≠；易知a
与b不共线，所以A，B，C均不正确.因为a-b=，且(a-b)·
b=×+×=0，所以(a-b)⊥b.
2.已知向量a=(0，-2)，b=(1，)，则向量a在b方向上的投影为
( )
A. B.3 C.- D.-3
【解析】选D.向量a在b方向上的投影为==-3.
3.(2019·邢台高一检测)已知a=(2，-3)，b=(1，-2)，且c⊥a，b·c=1，则c的坐标为
( )
B.(3，2) D.(-3，2)
A.(3，-2) C.(-3，-2)
- 1 -
【解析】选C.采用验证的方法知，c=(-3，-2)满足c·a=-6+6=0，所以c⊥a，b·c=1×(-3)+(-2)×(-2)=1.
4.已知a=(1，2)，b=(x，4)且a·b=10，则|a-b|=
( )
A.-10 B.10 C.- D.
【解析】选D.因为a·b=10，所以x+8=10，x=2，所以a-b=(-1，-2)，故|a-b|=二、填空题(每小题4分，共8分)
.
5.设向量a与b的夹角为θ，且a=(3，3)，2b-a=(-1，-1)，则|b|=________，cos θ=________. 【解析】b=a+(-1，-1)=(1，1)，
则a·b=6.又|a|=3，|b|=，
所以cos θ===1.
答案： 1
6.已知a，b是同一平面内的两个向量，其中a=(1，2).若|b|=2________.
，且b∥a，则b的坐标为
【解析】设b=(x，y)，因为|b|=2，
所以=2，
所以x+y=20.由b∥a和|b|=2
22
，
可得解得或
故b=(2，4)或b=(-2，-4).
- 2 -
答案：(2，4)或(-2，-4) 【加练·固】 已知
=(-3，1)，
=(0，5)，且
∥
，
⊥
(O为坐标原点)，则点C的坐
标是________. 【解析】设C(x，y)，则又
=(-3，1)，所以
=
=(x，y). -=(x+3，y-1)，因为=(0，5)，所以
=
-∥
，所以5(x+3)
=
-=(3，
-0·(y-1)=0，所以x=-3.因为=(x，y-5)，
4).因为⊥，所以3x+4(y-5)=0，所以y=，所以C点的坐标是.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知向量a，b同向，b=(1，2)，a·b=20. (1)求向量a的坐标.
(2)若c=(2，1)，求(b·c)·a.
【解析】(1)因为向量a，b同向，又b=(1，2)， 所以设a=λb=λ(1，2)=(λ，2λ)，λ>0.
由a·b=20得1×λ+2×2λ=20，所以λ=4，所以a=(4，8). (2)因为b·c=(1，2)·(2，1)=1×2+2×1=4， 所以(b·c)·a=4(4，8)=(16，32).
8.(14分)已知a=(1，2)，b=(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)a与b的夹角为直角. (2)a与b的夹角为钝角. (3)a与b的夹角为锐角. 【解析】设a与b的夹角为θ， 则a·b=(1，2)·(1，λ)=1+2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ=0，
- 3 -
所以a·b=0，所以1+2λ=0，所以λ=-. (2)因为a与b的夹角为钝角， 所以cos θ<0且cos θ≠-1， 所以a·b<0且a与b不反向共线. 由a·b<0得1+2λ<0，故λ<-，
由a与b共线得λ=2，故a与b不可能反向共线，
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角， 所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b>0且a，b不同向共线.
由a·b>0，得λ>-，由a与b共线得λ=2，
所以λ的取值范围为∪(2，+∞).
(15分钟·30分) 1.(4分)在平面直角坐标系xOy中，的可能值的个数是 A.1
B.2
-( ) =C.3
D.4
·
=0，所以k=-6；若
·
=0，所
=(2，1)，
=(3，k)，若△ABC是直角三角形，则k
【解析】选B.由以k=-1，若
·
=(-1，1-k)，若
2
=0，所以k-k+3=0，由Δ<0知无解.
2.(4分)已知O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中a∈(0，+∞)，点P在AB上且A.a
=tB.2a
(0≤t≤1)，则
C.3a
·
的最大值为( )
D.a
2
【解析】选D.因为A(a，0)，B(0，a)，
- 4 -
所以又因为所以
=(a，0)，=t=
+
，
=(-a，a).
=(a，0)+t(-a，a)
=(a-ta，ta)， 所以
·
=a(a-ta)=a(1-t).
2
因为0≤t≤1，所以0≤1-t≤1， 即
·
的最大值为a.
2
3.(4分)已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E满足=，点F为CD的中点，若
·=-2，则·=________. 【解析】如图，建立平面直角坐标系，
设C(t，0)，A(-t，0)，B(0，-1)，D(0，1)，
E，F，
=(t，1)，=，
=(-t，1)，=，
因为·=-2，所以-t+=-2，
2
解得t=5，答案：-7
2
·=-t+=-7.
2
- 5 -
2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价九 平面向量数量积的坐标表示 新人教A版必修2
