初中数学竞赛辅导资料(28)
三角形的边角性质
甲内容提要
三角形边角性质主要的有：
1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反
过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：
?a?b?c???a,b,c是△ABC的边长??b?c?a??a?b＜c?a?b
?c?a?b???推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和
2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180?；任意一个外角等于和
它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180?， 五边形内角和=3×180?
六边形内角和=4×180? n边形内角和=(n－2) 180?
3. 边与角的关系
① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；
大边对大角，大角对大边。
② 在直角三角形中，
△ABC中∠C=Rt∠?a2?b2?c2(勾股定理及逆定理)
?C?Rt???a：b：c=1：3：2 △ABC中???A?30??C?Rt??? a：b：c=1：1：2 △ABC中???A?45?乙例题
例1.要使三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形求a的取值范围。 (1988年泉州市初二数学双基赛题)
解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组
?3a?1?4a?1?12?a?a?1.5???4a?1?12?a?3a?1 解得?13??1 ∴1.5 A B C D AB=x，AC=y, AD=z 若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？ ① x< zzz, ②y 须满足下列不等式组： z?y??2x?y?x?z?y2y?z???z???x?z?y?y?x2x?z?2y 即∴ y?x????2?y?x?z?y?x?z?2x???z?x??2?答y zz和y<必须满足。 22例3.已知△ABC的三边都是正整数，a=5, b≤a≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。 解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c 它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458； 555，556，557，558，559。 例4. 如图求角A，B，C，D，E，F的度数和 D A 解：四边形EFMN 的内角和=360度 ∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D ∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝ 360度 N M ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度 BC21 F E例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范围 (1989年泉州市初二数学双基赛题) 解：根据题意，得 ??A??B??C52??2?C?5?A得∠C=(180－∠B)，∠A＝(180?－∠B) ?77??A??B??C?180??∴ 25(180?－∠B)≤∠B≤(180?－∠B) ∴ 40?≤∠B≤75? 77例6.在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2 求各内角的度数 A解：作∠BCD的平分线交AD于E， 13△BCE≌△DCE（SAS） ∴∠D＝∠CBE D △BCE≌△BAE（SSS） ∴∠CBE＝∠ABE＝∠DB 24C设∠D＝X度，则2X＋2X＋4X＋X＝360 ∴X＝40（度） 答∠DAB＝∠ABC＝80?，∠B∠D＝160?，∠D＝40? 丙练习28 1. △ABC中，a=5,b=7,则第三边c和第三边上的高hc的取值范围是＿＿ 2. a,b,c是△ABC的三边长，化简(a?b?c)2?(a?b?c)2得＿＿ 3. 已知△ABC的两边长a和b（a 是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4. 三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长 的数字写出这些三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初中数学联赛题） 5. 各边都是整数且周长小于13，符合条件的 ① 不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ② 等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6.如果等腰三角形的周长为S，那么腰长X的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿ 7.四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，CD＝7，边AD的适合范围是＿＿＿ 8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角 （1986年泉州市初二数学双基赛题） 9.△ABC中，a>b>c,那么∠C的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿ （ 1987年泉州市初二数学 双基赛题） 10.△ABC中，∠C、∠B的平分线相交于O，∠BOC＝120，则∠A＝＿＿ 11.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，CE＝BD，BF＝DC，则∠EDF＝＿＿（1986年泉州市初二数学双基赛题） ?? 12.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿＿＿度 （1986年泉州市初二数学双基赛题） 13.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠H＝＿＿度 14.如图△ADE中，∠ADE＝140?且AB＝BC＝CD＝DE，则∠A＝＿＿ EA D56B JDB A72 C1 E34CF 15.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠AED＝＿度（1988年泉州市初二数学双基赛题） （这里∠AED是指射线EA绕端点E按逆时针方向旋转到ED所成的角） 16.△ABC的AB＝AC＝CD，AD＝BD，则∠BAC＝＿＿＿度 （1988年泉州市初二数学双基赛题） 17.△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60?∠B的平分线交AC于D，点D到边 BC的距离为2cm,则边AC的长是＿＿cm (1988年泉州市初二数学双基赛题) C C B A E B C D D B A D A AB的值是（ ） BM1213（A） 大于（B）大于（C）大于（D）大于 233418.△ABC中，AB＝AC，M是AC的中点，则 19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差 比次大 边与最小边的差大1，则这样的三角形共有＿＿个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （1989年泉州市初二数学双基赛题） 20.菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且△AEF为等边三角形，求∠C的度数。 返回目录 参考答案
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初二上部分,共)-8002
