空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲解读 1.以常见几何体为模型，利用公理或推论判断线面位置关系；2.利用等角定理及平面求角的方法求异面直线所成的角．
[基础梳理]
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：
共面??相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；??位置
?平行直线：同一平面内，没有公共点；直线??
关系
?异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)平行公理(公理4)和等角定理：
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． (3)异面直线所成的角：
①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)；
π0，?. ②范围：??2 ?3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
相交 直线与平面 平行 在平面内 平行 平面与平面 相交 [三基自测]
α∩β＝l 无数个 a∥α a?α α∥β 0个 无数个 0个 图形语言 符号语言 a∩α＝A 公共点 1个
1．下列命题中，真命题是( ) A．空间不同三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．两组对边相等的四边形是平行四边形
D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 答案：D
2. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．30° C．60° 答案：C
3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( ) A．一定平行 C．一定是异面直线 答案：D
4．(必修2·2.1练习改编)两两相交的三条直线最多可确定________个平面． 答案：3
5．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，与平面A1AC平行的棱有________．
答案：D1D、B1B
考点一 平面的基本性质|易错突破
[例1] (1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是( )
B．一定相交 D．一定垂直 B．45° D．90°
(2)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
[解析] (1)A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面． (2)由题意知，D∈l，l?β，所以D∈β， 又因为D∈AB，所以D∈平面ABC， 所以点D在平面ABC与平面β的交线上． 又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上， 所以平面ABC∩平面β＝CD. [答案] (1)D (2)C [易错提醒]
1．由元素确定平面时，要看元素满足的条件． (1)由点确定平面：三点不共线； (2)由点和线确定平面：点不在直线上； (3)由线确定平面：两条相交线，两条平行线． 2．多点共线或多线共点问题：点为平面的公共点，线为平面的交线． 3．共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； ②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． (2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上． (3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [纠错训练]
1. 如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线 C．A，M，C，O不共面
B．A，M，O，A1不共面 D．B，B1，O，M共面
解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C?平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．故选A.
答案：A
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系专题讲解
