2024届新高考版高考数学考点通关提升训练
第六章 平面向量
第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本
定理及坐标运算
1.[改编题]给出下列命题:
①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反; ②两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件;
③若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b两者之一的方向相同; ④两个有共同起点的相等向量,其终点必相同; ⑤若向量
与向量
是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;
⑥λa=0(λ为实数),则λ必为0. 其中叙述正确的命题的序号是 A.①② B.③④ C.②④ D.⑤⑥
2.[2015新课标全国Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,
=3
,则
( ) ( )
A.= - B.
C. D.
3.[2024百校联考]已知A( - 1,2),B(2, - 1),若点C满足=0,则点C的坐标为 ( )
A.(,) B.( - 3,3) C.(3, - 3) D.( - 4,5)
4.[2024全国卷Ⅱ]已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a - b|= A.
B.2 C.5
min{x,y}=
D.50
设a,b为平面向量,则
( )
5.[浙江高考]记max{x,y}=( )
A.min{|a+b|,|a - b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a - b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a - b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a - b|2}≥|a|2+|b|2
6.[2024全国卷Ⅲ]已知向量a=(1,2),b=(2, - 2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= . 7.[2015新课标全国Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= . 8.[2015北京高考]在△ABC中,点M,N满足x= ;y= .
=2
,
.若
=x
+y
,则
考法1平面向量的线性运算
命题角度1 平面向量的线性运算
1[2024全国卷Ⅰ]在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= A. B.
C.
D.
把已知向量和所求向量转化到三角形中→根据向量的运算法则求解 解法一 作出示意图如图6 - 1 - 1所示,
×(
)+(
)=
.
解法二 A
命题角度2 平面向量线性运算中的参数问题
××()=.
2 [2024辽宁丹东质量测试]在△ABC中,A.y=3x
B.x=3y
C.y= - 3x D.x= - 3y =2
=2,=0,若=x+y,则
因为因为所以
,所以D是BC的中点. .................................. (判断点D的位置)
=0,所以E是AD的中点.
×(
)=
.
因此x=,y= - ,所以x= - 3y.
D 解后反思
求解该题时易出现的问题是不能根据“该条件可化为
(
=2
”确定点D的位置,从而导致错解,实质上
),即中线的向量表示,从而得到D是BC的中点.
1.如图6 - 1 - 2,在直角梯形ABCD中,,=2,且=r+s,则
2r+3s= ( )
图6-1-2
A.1 B.2C.3
D.4
考法2共线向量定理、平面向量基本定理的应用
命题角度1 共线向量定理的应用
3设a,b是不共线的两个非零向量. (1)若
=2a - b,
=3a+b,
=a - 3b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
(1)∵
=(3a+b) - (2a - b)=a+2b,
,
=(a - 3b) - (3a+b)= - 2a - 4b= - 2∴
与
共线,且有公共端点B.∴A,B,C三点共线.
(2)∵ 8a+kb与ka+2b共线, ∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b). ∴(8 - λk)a+(k - 2λ)b=0. ∵ a与b不共线, ∴
?8=2λ2?λ=±2.∴k=2λ=±4.
∴实数k的值为4或 - 4.
4在△ABC中,
=2
,
=3
,连接BF ,CE,且BF ∩CE=M,
=x
+y
,则x - y= A. - B. C. - D.
画出图形后,会发现B,M,F 三点共线,C,M,E三点共线.因此,本题可运用三点共线的向
量表示中系数的关系进行求解.
因为
=2
,所以
,
所以=x+yx+y.
由B,M,F 三点共线得x+y=1 ①. ............................ (三点共线,可得线性表示中的系数和为1)
因为=3,所以,所以=x+y=xy.
由C,M,E三点共线得x+y=1 ②. ............................ (三点共线,可得线性表示中的系数和为1)
联立①②,解得
C 解后反思
所以x - y== - .
求解本题的关键在于两次根据“三点共线”得向量线性表示中的系数之和为1,前提是
x+y,=xy,两个等式中的三个向量的起点相同,终点共线.若等式变为
tx+y,则有x+y=t,其实质是等号右边两个向量的系数和等于等号左边向量的系数.
要注意“解方程组思想”在解题中的灵活应用.
命题角度2 平面向量基本定理的应用
5如图6 - 1 - 3,在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得
=λ
+μ
,则λ+μ=
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