2020 中考数学专题 8——最值问题之将军饮马
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【模型解析】
姓名
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总结:以上四图为常见的轴对称类最短路程问题,最后都转化到:“两点之间,线段最短”解决。 特点:①动点在直线上;②起点,终点固定; 方法:作定点关于动点所在直线的对称点。
【例题分析】
例 1.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上,顶点 B 的坐标为(3, 3 ), 点 C 的坐标为( ,0),点 P 为斜边 OB 上的一动点,则 PA+PC 的最小值为
2
1
.
例 2.如图,在五边形 ABCDE 中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC=1,AE=DE=2, 在 BC、DE 上分别找一点 M、N.
(1)当△AMN 的周长最小时,∠AMN+∠ANM= ; (2)求△AMN 的周长最小值.
例 3.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在边 BC 上且 CE=1,长为 2 的线段 MN 在 AC 上运动.
(1) 求四边形 BMNE 周长最小值; (2) 当四边形 BMNE 的周长最小时,则 tan∠MBC 的值为 .
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例 4.在平面直角坐标系中,已知点 A(一 2,0),点 B(0,4),点 E 在 OB 上,且∠OAE=∠OBA.如
图,将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△AE′O′,连接 A'B、BE'.当 AB+BE'取得最小值时,求点 E'的坐标.
例 5.如图,已知正比例函数 y=kx(k>0)的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70°,定点 A 的坐标为(0, 4),P 为 y 轴上的一个动点,M、N 为函数 y=kx(k>0)的图像上的两个动点,则 AM+MP+PN 的最小值为
.
【巩固训练】
1. 如图 1 所示,正方形 ABCD 的面积为 12,△ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对
角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最小,则这个最小值为 .
图 1 图 2 图 3 图 4 2. 如图 2,在菱形 ABCD 中,对角线 AC=6,BD=8,点 E、F、P 分别是边 AB、BC、AC 上的动点,PE+PF 的最小值是 . 3. 如图 3,在边长为 2 的等边△ABC 中,D 为 BC 的中点,E 是 AC 边上一点,则 BE+DE 的最小值为 .
4. 如图 4,钝角三角形 ABC 的面积为 9,最长边 AB=6,BD 平分∠ABC,点 M、N 分别是 BD、BC 上的动点,则 CM+MN 的最小值为 . 5. 如图 5,在△ABC 中,AM 平分∠BAC,点 D、E 分别为 AM、AB 上的动点, (1)若 AC=4,S△ABC=6,则 BD+DE 的最小值为
(2) 若∠BAC=30°,AB=8,则 BD+DE 的最小值为 (3) 若 AB=17,BC=10,CA=21,则 BD+DE 的最小值为
.
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图 5
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6. 如图 6,在△ABC 中,AB=BC=4,S△ABC=43 ,点 P、Q、K 分别为线段 AB、BC、AC 上任意
一点,则 PK+QK 的最小值为 .
图 6 图 7 图 8 图 9 7. 如图 7,AB 是⊙O 的直径,AB=8,点 M 在⊙O 上,∠MAB=20°,N 是弧 MB 的中点,P 是直径 AB 上的一动点,则 PM+PN 的最小值为 .
8. 如图 8,在锐角△ABC 中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M、N 分别是
AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是 .
9. 如图 9,圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm,在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
cm.
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10. 如图 10,菱形 OABC 中,点 A 在 x 轴上,顶点 C 的坐标为(1, 3 ),动点 D、E 分别在射线
OC、OB 上,则 CE+DE+DB 的最小值是
图 10 图 11 图 12
3 x
图 13
11. 如图 11,点 A(a,1)、B(-1,b)都在双曲线 y=- (x<0)上,点 P、Q 分别是 x 轴、y 轴上
的动点,当四边形 PABQ 的周长取最小值时,PQ 所在直线的解析式是 . 12. 如图 12,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=5cm,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,△PMN 周长的最小值是 5cm,则∠AOB 的度数是 . 13. 如图 13,∠AOB=30°,点 M、N 分别在边 OA、OB 上,且 OM=1,ON=3,点 P、Q 分别在边 OB、OA 上,则 MP+PQ+QN 的最小值是 .
14. 如图 14,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是 AB 边的中点,过 D 作 DE⊥BC 于点 E. (1)点 P 是边 BC 上的一个动点,在线段 BC 上找一点 P,使得 AP+PD 最小,在下图中画出点 P; (2)在(1)的条件下,连接 CD 交 AP 于点 Q,求 AQ 与 PQ 的数量关系;
图 14
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15. 在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,G 为边 AD 的中点.
(1) 如图 1,若 E 为 AB 上的一个动点,当△CGE 的周长最小时,求 AE 的长.
(2) 如图 2,若 E、F 为边 AB 上的两个动点,且 EF=4,当四边形 CGEF 的周长最小时,求 AF
的长.
16. 如图,抛物线 y ? ? x? 2x ? 4 交y 轴于点B,点A 为x 轴上的一点,OA=2,过点A 作直线MN ? AB
1
2
2 交抛物线与 M、N 两点. (1) 求直线 AB 的解析式;
(2) 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度,得到线段 A1B1 ,求 MA1 ? MB1 取最小值时实数 t 的值.
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2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马 参考答案
例 1.解:作 A 关于 OB 的对称点 D,连接 CD 交 OB 于 P,连接 AP,过 D 作 DN⊥OA 于 N,
则此时 PA+PC 的值最小,
∵DP=PA,∴PA+PC=PD+PC=CD,∵B(3, ∵tan∠AOB=
AB
3
OA
3 1 2
3 ),∴AB= 3 ,OA=3,
= ,∴∠AOB=30°,∴OB=2AB=2 3 ,
1 2
3 2
3 2
由三角形面积公式得: ×OA×AB= ×OB×AM,∴AM= ,∴AD=2× =3, ∵∠AMB=90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°,∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°, ∵DN⊥OA,∴∠NDA=30°,∴AN= AD= ,由勾股定理得: DN= 3 ,
2
2
2
1 1 3
Rt△DNC 中,由勾股定理得:DC= 31 , ∵C( ,0),∴CN=3﹣ ﹣ =1,在
2
1
3
3
即 PA+PC 的最小值是
2
31
2 2
.
2
例 2.解:作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′,A″,连接 A′A″,交 BC 于 M,交 ED 于 N,则 A′A″即为
△AMN 的周长最小值.
⑴作 EA 延长线的垂线,垂足为 H,∠BAE=120°,∴∠AA′A″+∠AA″A′=60°, ∠AA′A″=∠A′AM,∠AA″A′=∠EAN,∴∠CAN=120°-∠AA′A″-∠AA″A′=60°, 也就是说∠AMN+∠ANM=180°-60°=120°.
⑵过点 A′作 EA 延长线的垂线,垂足为 H,
∵AB=BC=1,AE=DE=2,∴AA′=2BA=2,AA″=2AE=4, 则 Rt△A′HA 中,∵∠EAB=120°,∴∠HAA′=60°,
∵A′H⊥HA,∴∠AA″H=30°,∴AH= AA′=1,∴A′H= 3 ,A″H=1+4=5,
2 1
∴A′A″=2 7 ,
例 3.解:作 EF∥AC 且 EF= 2 ,连结 DF 交 AC 于 M,在 AC 上截取 MN= 2 ,延长 DF 交 BC 于 P,
作 FQ⊥BC 于 Q,作出点 E 关于 AC 的对称点 E′,则 CE′=CE=1,将 MN 平移至 E′F′处,
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