2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．连续，其2阶导函数f??(x)的图形如下图所示，则曲线y?f(x)的1、设函数f(x)在（-?,+?）拐点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导12345
数异号，因此，由f??(x)的图形可知，曲线y?f(x)存在两个拐点，故选(C).2、设y?则（）（A）a??3,b??1,c??1.（C）a??3,b?2,c?1.
（B）a?3,b?2,c??1.（D）a?3,b?2,c?1.
12x?1?
e??x??ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y??ay??by?cex的一个特解，23??
【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★【详解】12x1x
e,?e为齐次方程的解，所以2、1为特征方程?2+a??b?0的根，从而231a???1?2???3,b?1?2?2,再将特解y?xex代入方程y??3y??2y?cex得：c??1.
3、若级数?an条件收敛，则x?3与x?3依次为幂级数?nan?x?1?的：n?1
n?1
??
n
（A）收敛点，收敛点（C）发散点，收敛点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】★★★?
（B）收敛点，发散点（D）发散点，发散点【详解】因为?an条件收敛，故x?2为幂级数?an?x?1?的条件收敛点，进而得n?1
n?1
?
n
?a?x?1?n?1?
nn?1
?
n
的收敛半径为1，收敛区间为?0,2?，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故?
因而x?3与x?3依次为幂级数?nan?x?1?的收敛?nan?x?1?的收敛区间仍为?0,2?，n?1
nn
点、发散点.4、设D是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?
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函数f(x,y)3x围成的平面区域，在D上连续，则?2?4?3?4??f(x,y)dxdy?
D（A）??d??d??
1sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr
（B）??3?4?2?41d??sin2?12sin2?1f(rcos?,rsin?)rdr
（C）f(rcos?,rsin?)dr
（D）?d??sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★【详解】由y?x得，??
2
??；由y?3x得，??431sin2?12sin2?2由2xy?1得，2rcos?sin??1,r?
由4xy?1得，4rcos?sin??1,r?
2
所以??Df(x,y)dxdy??d???3?41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr?111??1?????5、设矩阵A?12a，b?d，若集合??{1,2}，则线性方程组Ax?b有无穷多个???14a2???????d2??
解的充分必要条件为（A）a??,d??（B）a??,d??（C）a??,d??
（D）a??,d??
【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★?1??111
?
【详解】?A,b???111?
12ad?a?1
d?1?
?d2?????1
??01?14a2
???00
?a?1??a?2??d1??d???2???
Ax?b有无穷多解?R(A)?R(A,b)?3
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?a?1或a?2且d?1或d?2
6、设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为2y12?y22?y32，其中P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形为（A）2y12?y22?y32（B）2y12?y22?y32（C）2y12?y22?y32（D）2y12?y22?y32【答案】(A)【考点】二次型【难易度】★★?【详解】由x?Py，故f?xTAx?yT(PTAP)y?2y12?y22?y32且：PT
AP??20?01??
0030?0
??1???
2015-2021年考研数学一真题及答案
