2018年全国硕士研究生入学统一考试数学
一、选择题：
1~8小题，每小题
(一)试卷及答案解析
4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
（1）下列函数中，在x0处不可导的是（
）
(A)fxxsinx(B)fxxsinx
(C)
fx
cosx
(D)
fx
cos
x
【答案】（
D）
【解析】根据导数的定义：
limxsinxlimxx（A）
x0
xx0
x0,可导；
limxsin
x
xx
（B）
x0x
limx0
x0,可导；
1x
limcosx
1
2
（C）
x
0
x
limx
0
x
0,可导；
12
x
1x
lim
cos
x1
0lim
2（D）
x
x
x
0
x
lim
2x
0
x
,极限不存在，
故选D。
（2）过点1,0,0,0,1,0，且与曲面zx
2
y2
相切的平面为（
）
(A)z0与xyz1(B)z0与２x2yz2(C)
x
y与x
y
z1
(D)
x
y与２x2y
z
2
【答案】（B）
过1,0,0,0,1,0的已知曲面的切平面只有两个，显然
【解析】
曲面zx
2
y2
的法向量为
(2x,2y,-1),
对于A选项，xyz1的法向量为(1,1,1),可得x112,y
2,
代入z
x
2
y2
和xyz
1中z不相等，排除A，故选B.
（3）
1
n
2n
3
n0
2n1!
（）
z=0与曲面zx
2
y2
相切，排除C、D
(A)
sin1cos1
(B)2sin1cos1(C)2sin12cos1
(D)2sin1
3cos1
【答案】（
B）
(1)
n
2n32n1【解析】
n0
(2n1)!
(1)
n
n0
(2n1)!(1)
n
2n0
(2n1)!
=
(1)
n
12
n0
(2n)!
(1)
n
n0
(2n1)!
cosl2sin1
故选B.2
（4）设M
21xx2
dx,N
21cosxdx,则（2
1
x
2
e
x
dx,K
212
(A)MNK(B)MKN(C)
K
M
N
(D)
K
N
M
【答案】（
C）
2
2
M=
2(1x)21
x
2x【解析】
2
1x
2
dx
dx22x2
(1
2
1x
2
1x
2
)dx.
1
x
ex
(x
0)
1x
1
N
21x2
e
2
2
e
xdx
1dx
M
2
K=
2
（1
cosx)dx
21dxM
2
2
故KMN,应选C。
1
10
（5）下列矩阵中与矩阵
011相似的为（）
0
0
1
1
1110
1(A)
011(B)
0110010011
11101(C)
010(D)
0100
0
1
0
0
1
【答案】（
A）
）
1
令J
【解析】
110=
3
0
1，则特征值1=1.10011，则由10
100
1
1，可知eE0
A
E
A
00
0
1，可知（rE0
1J)
2.
E
J
00
1110
011
3
（-1）=0，
00
1
则特征值为=
2
0
当=1时，E
J
001
A选项，令A=0
0
110
110
111
1
3
0解得1=
2
=
3
=1.
此时当
=1时，E
A=0
0
2.
1
B选项，令B=0
01
C选项，令C=0
01
D选项，令D=0
0
010010010
1
1，则同理显然可知矩阵11
1，则同理显然可知矩阵11
1，则同理显然可知矩阵1
E
A与E
J也相似，则
r(E-A)=r(E-J).
D所有的特征值为1,1,1.当=1时，（rE
D)
1.
C所有的特征值为1,1,1.当=1时，（rE
C)
1.
B所有的特征值为1,1,1.当=1时，（rE
B)
1.
由于矩阵相似，则相关矩阵
可知答案选A。
（6）设A、B为n阶矩阵，记rX为矩阵X的秩，X,Y表示分块矩阵，则（(A)
）
rA,ABrA
maxrA,rB
(B)rA,BA(D)rA,B
rArAB
T
T
(C)rA,B【答案】（
A）
设C
【解析】
AB，则可知C的列向量可以由A的列向量线性表示，则
fx满足f1x
(C)0.4
r(A,C)r(A,AB)r(A).
0.6,则PX
（
）
（7）设随机变量X的概率密度(A)
f1x,且
(D)
20
fxdx0
0.2
A）
(B)
0.30.5
【答案】（
由f(1x)
【解析】
f(1x)知，f(x)关于x1对称，故PX
2
0PX2
PX2PX
00
P00.4
X2PX0
0.2
2
1，P0
X2
0
f(x)dx0.6
PX
（8）设总体
X服从正态分布N
,
2
,X1,X2,
,Xn是来自总体X的简单随机样本，据此样本检测：
假设：H0：=0，H1：
0
，则（
）
(A)
如果在检验水平=0.05下拒绝H0，那么在检验水平=0.01下必拒绝H0(B)如果在检验水平=0.05下拒绝H0，那么在检验水平=0.01必接受H0(C)如果在检验水平=0.05下接受H0，那么在检验水平=0.01下必拒绝H0(D)
如果在检验水平
=0.05下接受H0，那么在检验水平
=0.01下必接受H0
【答案】
(A)
X
1n
Xi,X~N(,
2
),故
X【解析】
n
i1
/n
~N(0,1)
所以
1
0.05时，拒绝域为：
x0
/
n
u0.025,u0.025为上分位点.
=0.001时，拒绝域为：
x0
2
u.
/
n
0.0005又因为u0.025
u0.0005,故选A.
二、填空题：
9~14小题，每小题
4分，共24分。
1
（9）若lim
1tanxsinkx
x
0
1tanx
e,则k
__________.
【答案】-2
1sinkx
1tanx【解析】由e=lim
1tanxx
lim
0
1tanx1
1
sinkx
x
0
1tanx
e
,得1=lim1
1tanx
x0
sinkx1tanx
lim1tanx2x0
kx
k,
故k
2.
（10）设函数f
x具有2阶连续导数，若曲线y
fx过点0,0且与曲线y2x
在点相切，则
1
0
xfxdx__________.
【答案】2ln2
2
处
1,2
2018年考研数学一真题及答案解析【2020年最新】
