2018年全国硕士研究生入学统一考试数学
一、选择题:
1~8小题,每小题
(一)试卷及答案解析
4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的
(1)下列函数中,在x0处不可导的是(
)
(A)fxxsinx(B)fxxsinx
(C)
fx
cosx
(D)
fx
cos
x
【答案】(
D)
【解析】根据导数的定义:
limxsinxlimxx(A)
x0
xx0
x0,可导;
limxsin
x
xx
(B)
x0x
limx0
x0,可导;
1x
limcosx
1
2
(C)
x
0
x
limx
0
x
0,可导;
12
x
1x
lim
cos
x1
0lim
2(D)
x
x
x
0
x
lim
2x
0
x
,极限不存在,
故选D。
(2)过点1,0,0,0,1,0,且与曲面zx
2
y2
相切的平面为(
)
(A)z0与xyz1(B)z0与2x2yz2(C)
x
y与x
y
z1
(D)
x
y与2x2y
z
2
【答案】(B)
过1,0,0,0,1,0的已知曲面的切平面只有两个,显然
【解析】
曲面zx
2
y2
的法向量为
(2x,2y,-1),
对于A选项,xyz1的法向量为(1,1,1),可得x112,y
2,
代入z
x
2
y2
和xyz
1中z不相等,排除A,故选B.
(3)
1
n
2n
3
n0
2n1!
()
z=0与曲面zx
2
y2
相切,排除C、D
(A)
sin1cos1
(B)2sin1cos1(C)2sin12cos1
(D)2sin1
3cos1
【答案】(
B)
(1)
n
2n32n1【解析】
n0
(2n1)!
(1)
n
n0
(2n1)!(1)
n
2n0
(2n1)!
=
(1)
n
12
n0
(2n)!
(1)
n
n0
(2n1)!
cosl2sin1
故选B.2
(4)设M
21xx2
dx,N
21cosxdx,则(2
1
x
2
e
x
dx,K
212
(A)MNK(B)MKN(C)
K
M
N
(D)
K
N
M
【答案】(
C)
2
2
M=
2(1x)21
x
2x【解析】
2
1x
2
dx
dx22x2
(1
2
1x
2
1x
2
)dx.
1
x
ex
(x
0)
1x
1
N
21x2
e
2
2
e
xdx
1dx
M
2
K=
2
(1
cosx)dx
21dxM
2
2
故KMN,应选C。
1
10
(5)下列矩阵中与矩阵
011相似的为()
0
0
1
1
1110
1(A)
011(B)
0110010011
11101(C)
010(D)
0100
0
1
0
0
1
【答案】(
A)
)
1
令J
【解析】
110=
3
0
1,则特征值1=1.10011,则由10
100
1
1,可知eE0
A
E
A
00
0
1,可知(rE0
1J)
2.
E
J
00
1110
011
3
(-1)=0,
00
1
则特征值为=
2
0
当=1时,E
J
001
A选项,令A=0
0
110
110
111
1
3
0解得1=
2
=
3
=1.
此时当
=1时,E
A=0
0
2.
1
B选项,令B=0
01
C选项,令C=0
01
D选项,令D=0
0
010010010
1
1,则同理显然可知矩阵11
1,则同理显然可知矩阵11
1,则同理显然可知矩阵1
E
A与E
J也相似,则
r(E-A)=r(E-J).
D所有的特征值为1,1,1.当=1时,(rE
D)
1.
C所有的特征值为1,1,1.当=1时,(rE
C)
1.
B所有的特征值为1,1,1.当=1时,(rE
B)
1.
由于矩阵相似,则相关矩阵
可知答案选A。
(6)设A、B为n阶矩阵,记rX为矩阵X的秩,X,Y表示分块矩阵,则((A)
)
rA,ABrA
maxrA,rB
(B)rA,BA(D)rA,B
rArAB
T
T
(C)rA,B【答案】(
A)
设C
【解析】
AB,则可知C的列向量可以由A的列向量线性表示,则
fx满足f1x
(C)0.4
r(A,C)r(A,AB)r(A).
0.6,则PX
(
)
(7)设随机变量X的概率密度(A)
f1x,且
(D)
20
fxdx0
0.2
A)
(B)
0.30.5
【答案】(
由f(1x)
【解析】
f(1x)知,f(x)关于x1对称,故PX
2
0PX2
PX2PX
00
P00.4
X2PX0
0.2
2
1,P0
X2
0
f(x)dx0.6
PX
(8)设总体
X服从正态分布N
,
2
,X1,X2,
,Xn是来自总体X的简单随机样本,据此样本检测:
假设:H0:=0,H1:
0
,则(
)
(A)
如果在检验水平=0.05下拒绝H0,那么在检验水平=0.01下必拒绝H0(B)如果在检验水平=0.05下拒绝H0,那么在检验水平=0.01必接受H0(C)如果在检验水平=0.05下接受H0,那么在检验水平=0.01下必拒绝H0(D)
如果在检验水平
=0.05下接受H0,那么在检验水平
=0.01下必接受H0
【答案】
(A)
X
1n
Xi,X~N(,
2
),故
X【解析】
n
i1
/n
~N(0,1)
所以
1
0.05时,拒绝域为:
x0
/
n
u0.025,u0.025为上分位点.
=0.001时,拒绝域为:
x0
2
u.
/
n
0.0005又因为u0.025
u0.0005,故选A.
二、填空题:
9~14小题,每小题
4分,共24分。
1
(9)若lim
1tanxsinkx
x
0
1tanx
e,则k
__________.
【答案】-2
1sinkx
1tanx【解析】由e=lim
1tanxx
lim
0
1tanx1
1
sinkx
x
0
1tanx
e
,得1=lim1
1tanx
x0
sinkx1tanx
lim1tanx2x0
kx
k,
故k
2.
(10)设函数f
x具有2阶连续导数,若曲线y
fx过点0,0且与曲线y2x
在点相切,则
1
0
xfxdx__________.
【答案】2ln2
2
处
1,2