2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
1.解析 由数轴可知，AUB?xx?1.故选C. 2.解析 z?z??2?i??2?i??2?i?4?1?5.故选D.
22??3. 解析 由基本初等函数的图像与性质可知，只有y?x符合题意.故选A.
122?12?2，k…3？否，k?2； 4. 解析 执行程序：s?3?1?22?22s??2，k…3？否，k?3；
3?2?22?22s??2，k…3？是，输出s?2.故选B.
3?2?2c5. 解析 由题意知，b?1，e??aa2?11?5，解得a?.故选D. a26. 解析 若b?0，则f?x??cosx是偶函数；反之，若f?x?为偶函数，则f??x??f?x?，即cos??x??bsin??x??cosx?bsinx?cosx?bsinx，即bsinx?0对?x成立， 可得b?0，故“b?0”是“f?x?为偶函数”的充分必要条件.故选C. 7. 解析 由题意知，m太阳?m天狼星?E?E太阳lg，将数据代入，可得lg太阳?10.1， 2E天狼星E天狼星所以
E太阳?1010.1.故选A.
E天狼星AB的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图8. 解析 由题意和题图可知，当P为优弧?所示，设圆心为O，?AOB?2?，?BOP??AOP?1?2??2??????. 211?2??22??2?2?22此时阴影部分面积S?S扇形AOB?S△AOP?S△BOP?sin??????4??4sin?.故选B.
9. 解析 因为a?b，所以a?b???4??6?3?m?0，得m?8. 10. 解析 作出约束条件表示的可行域，如图所示.
POBAyAO-12xB4x-3y+1≥0
令z?y?x，则y?x?z，当此直线经过可行域内的点B时，z?y?x取最小值；当此直线经过可行域内的点A时，z?y?x取最大值. 由??x?2?y??1，得A?2,3?，由?，得B?2,?1?，所以?y?x?min??1?2??3；
?4x?3y?1?0?x?2?y?x?max?3?2?1.
11. 解析 y?4x的焦点为?1,0?，准线为x??1，故符合条件的圆为?x?1??y2?4.
2212. 解析 三视图对应的几何体，是在棱长为4的正方体上，去掉一个底面为梯形(上底为2，下底为4，高为2)、高为4的四棱柱而得到， 故其体积V?4?4?4?1??2?4??2?4?64?24?40. 213. 解析 若②m//?，过m作平面?I??m?，则m//m?，又③l??，则l?m?，又m，
m?同在?内，所以①l?m，即②③?①.
14. 解析 ①草莓和西瓜各一盒的价格为60?80?140?120，则支付140?10?130元； ②设促销前顾客应付y元，由题意有?y?x?80%…70%，解得x?1y，而促销活动条8件是y…120，所以xmax??1?1?y???120?15. ?8?min815. 解析（Ⅰ）由余弦定理b2?a2?c2?2accosB，得
1b2?32?c2?2?3?c?(?)．
2因为b?c?2，
所以(c?2)2?32?c2?2?3?c?(?)． 解得c?5．则b?7． （Ⅱ）由cosB??1231，得sinB?．
22a33sinB?． b14由正弦定理得，sinA?在△ABC中，B?C???A， 所以sin(B?C)?sin???A??sinA?16. 解析（Ⅰ）设?an?的公差为d． 因为a1??10，
所以a2??10?d,a3??10?2d,a4??10?3d． 因为a2?10,a3?8,a4?6成等比数列，
所以?a3?8???a2?10??a4?6?，即(?2?2d)2?d(?4?3d)． 化简得d2?4d?4?0，解得d?2． 所以an?a1?(n?1) d?2n?12n?N（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an?2n?12，且
233． 14?*?．
a6?0．
所以，当n…7时，an?0；当n?6时，an?0． 所以，Sn的最小值为S5?S6??30．
17. 解析（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人， A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．
估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为
40?1000?400． 100（Ⅱ）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)?1?0.04． 25（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知，
P(E)=0.04．
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金
额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．
18. 解析（Ⅰ）因为PA?平面ABCD，且BD?平面ABCD， 所以PA?BD．
又因为底面ABCD为菱形，所以BD?AC．
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PAIAC?A， 所以BD?平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD， 所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点， 所以AE⊥CD．
又AB//CD，所以AB⊥AE．
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PAIAB?A，所以AE⊥平面PAB． 又AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE．
（Ⅲ）棱PB上存在点F，且F为PB的中点，使得CF∥平面PAE． 取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG． 因为G，F分别为PA，PB的中点，则FG∥AB，且FG=1AB． 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点， 所以CE∥AB，且CE=
12AB． 所以FG∥CE，且FG=CE． 所以四边形CEGF为平行四边形， 所以CF∥EG．
因为CF?平面PAE，EG?平面PAE， 所以CF∥平面PAE．
19. 解析（I）由题意得，b2=1，c=1． 所以a2=b2+c2=2．
所以椭圆C的方程为x22?y2?1．
（Ⅱ）设P（1，y1），Q（2，y2）， 则直线AP的方程为y?y1?1xx?1． 1令y=0，得点M的横坐标xx1M??y． 1?1又yx11?kx1?t，从而|OM|?xM?|kxt?1|．
1?同理，|ON|?|x2kxt?1|．
2??y?kx由??t,?x2得(1?2k2)x2?4ktx?2t2?2?0． ??2?y2?12
2019高考卷-2019年北京文数高考试题答案
