2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲
线增分练
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是
( )
B.－y2＝1 D.－x2＝1
A．x2－＝1 C．y2－＝1
答案 D
解析 由题意，选项A，B的焦点在x轴，故排除A，B；D项的渐近线方程为－x2
＝0，即y＝±2x.
2．[2018·湖北模拟]若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线
的离心率为( ) A. B. C. D.3
答案 D
解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，
又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故选D.
3．[2017·全国卷Ⅰ]已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且
PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A. B. C. D.2
答案 D
解析 因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)． 因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故选D.
5
3
2019年
4．[2018·广东模拟]已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，
则双曲线C的方程为( )
B.－＝1 D.－＝1
A.－＝1 C.－＝1 答案 C
解析 因为双曲线C的右焦点为F2(5,0)，所以c＝5.因为离心率e＝＝，所以a
＝4.
又a2＋b2＝c2，所以b2＝9. 故双曲线C的方程为－＝1.
5．P为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上的一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离
心率的取值范围是( )
B．(1,3] D．[3，＋∞)
A．(1,3) C．(3，＋∞)
答案 B
解析
??4a＋2a>2c，
如图，由题意可知?
?a ∴1 当P在x轴上时，4a＋2a＝2c， ∴e＝3. 综合e∈(1,3]． 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为 ________． 答案 y＝±x 解析 根据已知可得，|PF1|＝且|PF2|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，双曲线的渐 近线方程为y＝±x. 7．[2018·海口调研]已知点F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，且|PF2|＝2|PF1|，若△PF1F2为等腰三角形，则双曲 线的离心率为________． 答案 2 解析 ∵|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|＝2|PF1|，∴|PF2|＝4a，|PF1|＝2a， 2019年 ∵△PF1F2为等腰三角形，∴|PF2|＝|F1F2|，即4a＝2c，∴＝2. 8．[2016·北京高考]双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA， OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________. 答案 2 解析 由OA，OC所在直线为渐近线，且OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2－y2＝a2.OB是正方形的对角线，且点B是 双曲线的焦点，则c＝2，根据c2＝2a2可得a＝2. 9．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4， 焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在 点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 解 (1)由题意知a＝2， 又∵一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为，得＝. ∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0， 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12. ∴∴? ?x0＝43， ?y0＝3， ∴t＝4，点D的坐标为(4，3)． 10．[2018·广西模拟]已知双曲线方程2x2－y2＝2. (1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程； (2)求过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是 弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解 (1)由2·22－12＝7>2可知点A在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A(2,1)为中点的弦两端点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有x1＋x2＝4，y1＋y2 ＝2.由对称性知x1≠x2. ∵P1、P2在双曲线上，
2020高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练
