2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．设非零实数a，b，c满足??a?2b?3c?0，ab?bc?ca则2的值为（ ）． 222a?3b?4c?0，a?b?c?（C）
（A）?1 2（B）0
1 2（D）1
【答案】A
【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0，故
1ab?bc?ca1(a?b?c)2?0．于是ab?bc?ca??(a2?b2?c2)，所以2． ??2a?b2?c222．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax?bx?c?0有两个非零实根
2x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以
（A）cx?(b?2ac)x?a?0 （C）cx?(b?2ac)x?a?0 【答案】B
2222222211，为两个实根的是（ ）． 2x12x2（B）cx?(b?2ac)x?a?0 （D）cx?(b?2ac)x?a?0
22222222【解答】由于ax?bx?c?0是关于x的一元二次方程，则a?0．因为x1?x2??2b，ac11(x1?x2)2?2x1x2b2?2ac，x1x2?，且x1x2?0，所以c?0，且 2?2??2ax1x2x12x2c211a2?2?2， 2x1x2c于是根据方程根与系数的关系，以
11，为两个实根的一元22x1x2b2?2aca2x??0，即二次方程是x?c2c2c2x2?(b2?2ac)x?a2?0．
3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，
（第3题）
垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）． ．．．
（A）OD （C）DE 【答案】D
【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝
（B）OE （D）AC
AD?BD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数． 2OD2DC·DO由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE?，DE?都是有理
OCOC数，而AC＝
（第3题答题）
AD·AB不一定是有理数．
4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC?4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．
（A）3 （C）6 【答案】C
【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．
连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF． 因为BC?4CF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：
（第4题答题）
（B）4 （D）8
（第4题）
，
x?y?3xy?3xy?xy?453223?x?1???y?1?33?60且x?y?z??x?y??z，则2013?2012?L?3?2的值为（ ）．
（A）
607 967（B）
1821 967（C）
5463 967（D）
16389 967【答案】C
【解答】设2013?2012?L?4?m，则
3m3?3?3m2?9?m?27?45?9， ?2013?2012?L?4??3?m?3?3m?3m2?3m?1?64?603?93?2?3?92?22?9?23?455463?于是?2013?2012?L?3??2?9?2?．
103?33?60967
二、填空题 6．设a?33，b是a2的小数部分，则(b?2)3的值为 ．
【答案】9
2【解答】由于1?a?2?a?3，故b?a?2?239?2，因此(b?2)3?(39)3?9．
7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 ．
【答案】
204 13
【解答】如图，连接AF，则有：
S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???，
S?AFDS?AFDFDS?CDF3S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????，
S?AEFS?AEFFES?BEF4（第7题）
10896，S?AFD?． 1313204所以，四边形AEFD的面积是．
13解得S?AEF?8．已知正整数a，b，c满足a?b?2c?2?0，3a?8b?c?0，则abc的最大值为 ．
【答案】2013
【解答】由已知a?b?2c?2?0，3a?8b?c?0消去c，并整理得
2222
（第7题答题）
?b?8?2?6a2?a?66．由a为正整数及6a2?a≤66，可得1≤a≤3．
2若a?1，则?b?8??59，无正整数解；
若a?2，则?b?8??40，无正整数解；
若a?3，则?b?8??9，于是可解得b?11，b?5．
（i）若b?11，则c?61，从而可得abc?3?11?61?2013； （ii）若b?5，则c?13，从而可得abc?3?5?13?195． 综上知abc的最大值为2013．
9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x?cx?d?0的两根为a，b，一元二次方程x?ax?b?0的两根为c，d，则所有满足条件的数组(a，，，bcd)为 ．
【答案】(1，?2，，1?2)，(t，，0?t，0)（t为任意实数）
2222?a?b??c，??ab?d，【解答】由韦达定理得?
c?d??a，???cd?b．由上式，可知b??a?c?d． 若b?d?0，则a?db?1，c??1，进而b?d??a?c??2． bd若b?d?0，则c??a，有(a，，，bcd)?(t，，0?t，0)（t为任意实数）． 经检验，数组(1，?2，，1?2)与(t，，0?t，0)（t为任意实数）满足条件．
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．
【答案】207
【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则??4x?7y?2013，
x?y?350，?2013?7yy?1?(503?2y)?， 44y?1于是是整数．又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y，
4所以x?所以y?204，故y的最小值为207，此时x?141．
12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求?BAC所有可能的度数．
【解答】分三种情况讨论． （i）若△ABC为锐角三角形．
因为?BHC?180???A，?BOC?2?A，
所以由?BHC??BOC，可得180???A?2?A，于是?A?60?．
…………5分
（ii）若△ABC为钝角三角形．
当?A?90?时，因为?BHC?180???A，?BOC?2?180???A?，
所以由?BHC??BOC?180?，可得3?180???A??180?，于是?A?120?。
…………10分
当?A?90?时，不妨假设?B?90?，因为?BHC??A，?BOC?2?A， 所以由?BHC??BOC?180?，可得3?A?180?，于是?A?60?．
…………15分
（iii）若△ABC为直角三角形．
当?A?90?时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆， 所以?A不可能等于90?；
当?A?90?时，不妨假设?B?90?，此时点B与H重合，于是总有B，C，H，O共圆，因此?A可以是满足0???A?90?的所有角．
综上可得，?A所有可能取到的度数为所有锐角及120?．
…………20分
（第12题答题（i））
（第12题答题（ii））
13．设a，b，c是素数，记x?b?c?a，y?c?a?b，z?a?b?c，当
z2?y,x?y?2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
【解答】不能．
111(y?z)，b?(x?z)，c?(x?y)． 222112z(z?1)2因为y?z，所以a?(y?z)?(z?z)?．
222依题意，得a?又由于z为整数，a为素数，所以z?2或?3，a?3．…………10分
当z?2时，y?z2?4，x?(y?2)2?16．进而，b?9，c?10，与b，c是素数矛盾；…………15分
当z??3时，a?b?c?0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．………20分
14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．
【解答】若n≤6，取m?1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，…，an中的一个正整数M是i，j(1≤i＜j≤7)的公共的魔术数，即7|(10M?i)，7|(10M?j)．则有7|(j?i)，但0＜j?i≤6，矛盾．
故n≥7．…………10分
又当a1，a2，…，an为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为k位数（k为
2，正整数）．则10i?m（i?1，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i，
kj(1≤i＜j≤7)，满足7|[(10kj?m)?(10ki?m)]，即7|10k(j?i)，从而7|(j?i)，
矛盾．
故必存在一个正整数i(1≤i≤7)，使得7|(10i?m)，即i为m的魔术数． 所以，n的最小值为7．…………20分
k
2013年全国初中数学竞赛试题（含答案）
