_
又BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOD，交线为AD， 作OH⊥AD，垂足为H，∴OH⊥平面ABC. …9分 ∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1为等边三角形，又BC=1，可得OD=由于AC⊥AB1，∴OA?3， 4117B1C?，∴AD?OD2?OA2?，
42221由 OH·AD=OD·OA，可得OH=，又O为B1C的中点，
1421所以点B1到平面ABC 的距离为，
721所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 …12分
7另解(等体积法)：∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1为等边三角形，又BC=1， 可得BO=1132，由于AC⊥AB1，∴OA?B1C?，∴AB=1，AC=，…9分 22221227则等腰三角形ABC的面积为?， ?12?()2?2248设点B1到平面ABC的距离为d，由VB1-ABC=VA-BB1C得
73121d??,解得d?， 8427所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为
21。 …12分 715.(1)解 如图,由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. 因为AD⊥平面PDC, 所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中,由已知,得AP=√????2+????2=√5, 故cos∠DAP=????=
????
√5
.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为5. 5
√5
(2)证明 因为AD⊥平面PDC,直线PD?平面PDC, 所以AD⊥PD.
又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC. (3)解 过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
_
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1, 由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,
在Rt△DCF中,可得DF=√????2+????2=2√5, 在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=????=所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
5
√5
????√5
5
.
16.【解】 (1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．
因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC. 又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK. 所以BF⊥平面ACFD．
(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角． 在Rt△BFD中，BF＝
321
3，DF＝，得cos∠BDF＝，
27
21
所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.
717.(1)证明 由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD. 因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD， 又DM?平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，BC，CM?平面BMC，
所以DM⊥平面BMC.又DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)解 当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
_
证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形， 所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，
所以MC∥OP.又MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD. 1
18.(1)证明：在题图(1)中，因为AB＝BC＝AD＝a，
2π
E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.(2分)
2即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，(3分)
从而BE⊥平面A1OC.(4分)，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(6分) (2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．(9分) 由题图(1)知，A1O＝AO＝
22
AB＝
22
a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，(10分)
1122
2从而四棱锥A1-BCDE的体积为：V＝S·A1O＝×a×a＝a3.
3326
26
由a3＝362，得a＝6.(12分)
19(1)证明 ∵AC＝AD2＋CD2＝22，∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，
∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos 45°＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC，
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD. (2)解 ∵AD∥平面BEF，AD?平面ACD， 平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF， ∵E为AC的中点，∴EF为△ACD的中位线，
_
1
由(1)知，VF－BCE＝VB－CEF＝×S△CEF×BC，
31111
S△CEF＝S△ACD＝××2×2＝，
442211
∴VF－BCE＝××2
32
2＝
23.
20.[解] (1)证明：过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥D1C1于点N. 设MH＝m，NF＝n. 因为EFGH是正方形， 所以EF＝EH＝
22
HF.
又在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝8，BC＝10. 所以
102＋n2＝82＋m2＝
1
[102＋82＋(m－n)2] 2
解之得n＝0，m＝6. 所以N与F重合．所以A1E＝D1N＝D1F. (2)由(1)知，A1D≠EG. 又A1E∥DG.
所以四边形A1DGE是以A1D与EG为腰的梯形，即A1D与EG相交．又EG?α. 所以直线A1D与平面α相交．
2020年度高三数学立体几何专项训练(文科)
