2019年
12＋4分项练4 平面向量与数学文化
→→→
1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB＝a，AC＝b，则AO等于( )
A.12a＋12b B.12a＋1
4b C.14a＋12b D.14a＋14
b 答案 B
解析 ∵在△ABC中，BE是AC边上的中线， ∴→AE＝1→2AC，
∵O是BE边的中点， ∴→AO＝12(→AB＋→
AE)，
∴→AO＝1→2AB＋1→4AC，
∵→AB＝a，→
AC＝b， ∴→AO＝1
12a＋4
b.
2．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，则a在a＋b方向上的投影为( ) A.
435 B.328 C.551310
7 D.10
答案 D
解析 由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8， 可知|a|＝22
＋42
＝25， (a－2b)2
＝a2
＋4b2
－4a·b＝64， 则a·b＝－7，
所以a在a＋b方向上的投影为a·?a＋b?a2＋a·b|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b
＝
20－7
20＋4＋2×?－7?
＝1310
10.
3．若两个非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝23，则a与b的夹角为(
)
2019年
A.
πππ2π B. C. D. 6433
答案 C
解析 设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]， 则由|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝23， 得(2a＋b)＝12，
即(2a)＋4a·b＋b＝4＋4a·b＋4＝12， 1π所以a·b＝1，所以cos θ＝，所以θ＝.
23
→→
4．(2018·上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则AD·AE等于( ) 482626A. B. C. D. 9993答案 C 解析 如图，
2
2
2
→→→→|AB|＝|AC|＝2，〈AB，AC〉＝60°， ∵D，E是边BC的两个三等分点，
→→?→1→??→1→??2→1→??1→2→?∴AD·AE＝?AB＋BC?·?AC＋CB?＝?AB＋AC?·?AB＋AC?
3??3??33??33??2→25→→2→2
＝|AB|＋AB·AC＋|AC| 999251226＝×4＋×2×2×＋×4＝. 99299
5．(2018·烟台模拟)如果|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( ) A．24 B．26 C．－24 D．－26 答案 B
解析 由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4， 得|a－2b|＝?a－2b?＝a＋4b－4a·b
2
2
2
＝4＋36－4×4＝26.
6．(2018·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A．65 B．176 C．183 D．184
2019年
答案 D
解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 8×7
由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
2解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中
OA＝1，则给出下列结论：
2→→→→
①HD·BF＝0；②OA·OD＝－；
2
→→→→→
③OB＋OH＝－2OE；④|AH－FH|＝2－2. 其中正确结论的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1 答案 B
解析 正八边形ABCDEFGH中，HD⊥BF， →→
∴HD·BF＝0，故①正确； →→
OA·OD＝1×1×cos
→
→
→
3π2
＝－，故②正确； 42→
OB＋OH＝2OA＝－2OE，故③正确；
→→→→→
|AH－FH|＝|AF|＝|OF－OA|，
3π→2
则|AF|＝1＋1－2×1×1×cos ＝2＋2，
4→
∴|AF|＝2＋2，故④错误． 综上，正确的结论为①②③，故选B.
8．(2018·芜湖模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有一道题目，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？如图是源于其思想的一个程序框图，若输出的S＝2(单位：升)，则输入k的值为( )
(全国通用版)2020高考数学二轮复习 12+4分项练4 平面向量与数学文化 文
