中国科学技术大学2019年自主招生考试数学试题(含解析).doc

2019年中国科学技术大学自主招生试题 解析

填空题(每题5分，共40分)

1.平面区域|x + 2y| + |3x+4)，|V5的面积是

2. sin2x+cos3x = 0在［0,2仃］之间所有根之和为 3.已知平面直角坐标系上

有三点人(l,0),8(0,l),Ca,?=)，则 \面积的最

小值为

4 .记X =3 + cos(r - —j = 4 + cos(r + ，则 x2 + 的最大值为 _____

3

6

5 .设点丛(1,0) , OPi 03顺时针旋转。得到向量OQ ,。关于y轴对称点 记

为饥，则％的坐标为—

1

r 2019

6.

2

若而=5，耳*= --------- [J； - ，贝[|￡也=

2(〃 + l)x〃+l 卜 1

7. zc 8.

,且二是纯虚数，则成+ 2 + 3|的最小值是 _______

Z + 1

已知x},x2,x3,x4 G

|l

，且{xtXjXk

.、…，则

工1 +花+尤3 +尤4 =

解答题(每题20分，共60分)

9.将D}D2D.的各中点连线，折成四面体人此。，已

知耳以=12,￡)2￡>3=10,/)3耳=8 ,求四面体ABCD『的体积。 . 〃璀

10.求证:对于任意的.n卷在上仅有—个解“。

11 .已知*

⑴.求证：存在多项式p(x),满足COS海=p(cos。)

⑵将p⑴在［X］上完全分解

其中 A(5,|),B(10,y),易求得SQM=；

2

[=?

10 —

1.通过画图，易知该平面区域的图形是个平行四边形

2

!110

故区域面积S = 4Sg=25 2.首先结合图示说明

红色曲线为y=sin 2x,蓝色曲线为y=~cos 3x

我们可以证明石,工3是关于^2对称的，易，工6是关于毛对称的，那么 +工2 +工3 +工4 +入5 +*6 =3邑 +3*5 =^rT

X]

我们再给出一个三角学的说明，

sin2^ + cos3JV = 2sincosx + 4cos' x-3cosx = cos%(2sinx + 4cos2x-3) = cosx(2sin+1 -4sin?x) = 0

这表明，原方程的根的分布为

①?cosx = 0=> X]

②

Onsinx

.4sin2 jc-2sinx-l

利用\。黄金三角形”的各种相似,我们知道

. 1±\\/5 3兀 7 丸 1 \\n 19 勿 sin x = ------- => 羽=——，兀i =——,X. = --------- , x =

2 2 --------------- 故

A 首先，令Z一 巳=0 / 贝Ux = 3 + cosQ v = 4 + sin。

综上 ,x+x+x+x+x+x=6tt

]

2

3

4

5

6

r?

利用平均值不等式，我们知道

3 ?

因此，其轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆 故x2 + y2 <(7(32 +42) + r)2 = 36

0

(cos。，一 si n。)，R (-cos 0,—si n 0)

进行实际操作，则

5.

Q (-1,0), ^(1,0)

注意到R，E）重合，因此所有操作以2为周期，故⑶9 = *（-cos。,-sin。）

事实上，旦，女的重合是必然的,并不依赖于P的坐标和。的大小,下面 我们来证明这一事实。

首先

/我们刻画￡Oo，No）到KCW1）这个变换，记Q）（\，则f

cos。 sin。

/

、一 sin。

) cos '-1 0，们

、

[()

、1> m综上，知

/ \\

sin

' —

-/ \\

玉 1 'cos。

COS0

0、、0 b

、-。cos ' 0

、

sinCOS

。 工sin0

/ *

。

。/

'-cos。一

sin。

)2 p

>

、(\\ 0=1。

、 / 、 /

0b \

。

<>0>、 这也就说明了打,与重合L>

? 故琮9坐标为（-cos。,-sin 0） 6.首先将递推公式两侧取倒数，则_L二次冬上U(E)

X ,

f+l

X

%

X , X%+l %

累加，即

i

〃

I

丁 2寤2j =

裂项求和，则