十年高考真题分类汇编（2010—2024）数学
专题09不等式
1.(2024·全国1·理T4文T4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是2（2≈0.618,称为黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是2.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( ) A.165 cm C.185 cm 【答案】B
【解析】设人体脖子下端至肚脐的长度为x cm,则
26x√5-1
√5-1
√5-1
B.175 cm D.190 cm
≈
√5-1
2,得x≈42.07,又其腿
长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B. 2.(2024·全国2·理T6)若a>b,则( ) A.ln(a-b)>0 B.3<3 C.a-b>0 【答案】C
【解析】取a=2,b=1,满足a>b.但ln(a-b)=0,排除A;
∵3=9,3=3,∴3>3,排除B;∵y=x是增函数,a>b,∴a>b,故C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,排除D.故选C.
x+y-2≤0,x-y+2≥0,
3.(2024·天津·理T2文T2)设变量x,y满足约束条件{则目标函数z=-4x+y的最大值为
x≥-1,y≥-1,( ) A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】C
x=-1,
【解析】由{得A(-1,1).
x-y+2=0,
∴zmax=-4×(-1)+1=5.故选C.
a
b
a
b
3
3
3
3
3
a
b
D.|a|>|b|
x-3y+4≥0,
4.(2024·浙江·T3)若实数x,y满足约束条件{3x-y-4≤0,则z=3x+2y的最大值是( )
x+y≥0,A.-1
B.1 C.10
D.12
【答案】C
【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y取得最大值zmax=3×2+2×2=10.
x+y≤5,2x-y≤4,
5.(2024·天津·理T2文T2)设变量x,y满足约束条件{则目标函数z=3x+5y的最大值为 ( )
-x+y≤1,y≥0,A.6 B.19 【答案】C
x+y≤5,2x-y≤4,
【解析】作出不等式组{表示的平面区域如图阴影部分所示.
-x+y≤1,y≥0x+y=5,由{解得点A的坐标为(2,3). -x+y=1,由z=3x+5y,得y=-x+. 由图可知,当直线y=-x+过点A时,最大,即z最大.所以z的最大值zmax=3×2+5×3=21. 6.(2024·北京·理T8文T8)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则( ) A.对任意实数a,(2,1)∈A B.对任意实数a,(2,1)?A C.当且仅当a<0时,(2,1)?A D.当且仅当a≤ 时,(2,1)?A
35
z5
z5
35z5 C.21 D.45
【答案】D
2-1≥1,3
3a>,【解析】若(2,1)∈A,则有{2a+1>4,化简得{2即a>. 2
a≥0.2-a≤2,所以当且仅当a≤时,(2,1)?A,故选D.
2x+3y-3≤0,
7.(2017·全国2·理T5文T7)设x,y满足约束条件{2x-3y+3≥0,则z=2x+y的最小值是( )
y+3≥0,A.-15 B.-9 C.1 D.9 【答案】A
【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y的几何意义,可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即zmin=-12-3=-15,故选A.
3
2
3x+2y-6≤0,
8.(2017·全国3·文T5)设x,y满足约束条件 {x≥0,则z=x-y的取值范围是( )
y≥0,A.[-3,0]
B.[-3,2]
C.[0,2] D.[0,3] 【答案】B
【解析】画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义,可得目标函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.
x+3y≤3,
9.(2017·全国1·文T7)设x,y满足约束条件{x-y≥1,则z=x+y的最大值为( )
y≥0,A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D
【解析】根据题意作出可行域,如图阴影部分所示.由z=x+y得y=-x+z.作出直线y=-x,并平移该直线,当直线y=-x+z过点A时,目标函数取得最大值.由图知A(3,0),故zmax=3+0=3.
2x-y≤0,
10.(2016·北京·理T2)若x,y满足{x+y≤3,则2x+y的最大值为( )
x≥0,A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C
【解析】由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.
2x-y=0,由{可得P点坐标为(1,2),故zmax=2×1+2=4. x+y=3,
x-y+2≥0,
11.(2016·天津·理T2)设变量x,y满足约束条件{2x+3y-6≥0,则目标函数z=2x+5y的最小值为 ( )
3x+2y-9≤0,A.-4
B.6 C.10 D.17
【答案】B
【解析】如图,作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC及其内部,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将z=2x+5y变形为y=-5x+5,可知当y=-5x+5经过点B时,z取最小值6.故选B.
2
z
2
z
??+??≤2,
22
12.(2016·山东·理T4文T4)若变量x,y满足{2??-3??≤9,则x+y的最大值是( )
??≥0,A.4 B.9 C.10 D.12 【答案】C
【解析】如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x+y表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|=10,故选C.
2
2
2
十年高考真题分类汇编(2010-2024) 数学 专题09 不等式 Word版含解析
