1解析：本题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式以及两角和差的三角函数公式.732由cos2??2cos??1??，且?为第三象限角得
514. ?cos???54，得tan??2，tan2???，53y?x2?x?a y a y?x2?x?a?1?tan2?1tan(?2?)???.
41?tan2?7515．1?a? 解析：本题考查了利用数形结合的思
4想解题的策略. 如图，作出y?x?|x|?a的图像，若要使y?1与其有四个交点，需满足a?解得1?a?2x 1a? 41?1?a，45. 416.
3 解析：本题考查了椭圆离心率的求解策略.不妨设椭圆C焦点在x轴上，中心在原3uuuruuur点，B点为椭圆上顶点，F为右焦点，则由BF?2FD,得D点到右准线的距离是B点到右uuuruuuruuura2准线距离的一半，则D点横坐标xD?，由BF?2FD知，F分BD所成比为2，，由定
2ca20?2?3a2222c比分点坐标公式得c?，得3c?a，得e?. ?31?23c
三、解答题 17. 解：
由a?b?acotA?bcotB及正弦定理得
sinA?sinB?cosA?cosB
sinA?cosA?cosB?sinB从而sinAcos?4?cosAsin?4?cosBsin?4?sinBcos?4
sin(A?)?sin(?B)
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??
又0?A?B?? 故A??4??4
?B
A?B?所以C? 18. 解：
?2?2 (Ⅰ)记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用.
则 D=A+B·C,
P(A)?0.5?0.5?0.25,P(B)?2?0.5?0.5?0.5,P(C)?0.3, P(D)?P(A?BgC) =P(A)?P(BgC) =P(A)?P(B)P(C) =0.25+0.5×0.3 =0.40.
(Ⅱ)X~B(4,0.4)，其分布列为： P(X?0)?(1?0.4)?0.1296,
13 P(X?1)?C4?0.4?(1?0.4)?0.3456, 222 P(X?2)?C4?0.4?(1?0.4)?0.3456, 33 P(X?3)?C4?0.4?(1?0.4)?0.1536,
4 P(X?4)?0.4?0.0256.
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期望EX?4?0.4?1.6.
19. 解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,
由此知 DG?GC?BG?1,即?ABC为直角三角形，故BC?BD. 又SD?平面ABCD,故BC?SD,
所以，BC?平面BDS,BC?DE.
作BK?EC,K为垂足，因平面EDC?平面SBC， 故BK?平面EDC，BK?DE,DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直
DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB
SB?SD2?DB2?6 DE?SDgDB2? SB3626,SE?SB-EB? 33EB?DB2-DE2?所以，SE=2EB (Ⅱ) 由SA?SD2?AD2?5,AB?1,SE?2EB,AB?SA,知
22?1??2?AE??SA???AB??1,又AD=1.
?3??3?故?ADE为等腰三角形.
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取ED中点F,连接AF,则AF?DE,AF?连接FG，则FG//EC,FG?DE.
AD2?DF2?6. 3所以，?AFG是二面角A?DE?C的平面角. 连接AG,AG=2,FG?DG2?DF2?6, 3AF2?FG2?AG21cos?AFG???,
2gAFgFG2所以，二面角A?DE?C的大小为120°. 解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D?xyz， 设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
uuuruuur（Ⅰ）SC?(0,2,-2),BC?(-1,1,0)
设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)
rrruuurrrruuuruuuruuu由n?SC,n?BC，得ngSC?0,ngBC?0
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)
ruuruuur又设SE??EB (??0)，则
??2E(,,) 1??1??1??uuurr??2uuuDE?(,,),DC?(0,2,0)
1??1??1??r设平面CDE的法向量m=(x,y,z)
rrruuurr由m?DE,m?DC,得m?DE?0，m?DC?0
故
?x?y2z???0,2y?0. 1??1??1??r令x?2，则m?(2,0,??).
rn?0,2???0,??2 由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,mg故SE=2EB
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rrr
ur222111uu211（Ⅱ）由（Ⅰ）知E(,,)，取DE的中点F，则F(,,),FA?(,?,?)，
333333333uuuruuur故FAgDE?0，由此得FA?DE
uuuruuuruuur242又EC?(?,,?)，故ECgDE?0，由此得EC?DE，
333ruuuruuuEC向量FA与的夹角等于二面角A?DE?C的平面角
uuuruuuruuuruuurFAgEC1uruuur?? 于是 cos?FA,EC??uu2|FA||EC|所以，二面角A?DE?C的大小为120 20.解： （Ⅰ）f?(x)?ox?11?lnx?1?lnx?， x?xf?(x)?xlnx?1,
题设xf?(x)?x?ax?1等价于lnx?x?a. 令g(x)?lnx?x，则g?(x)?'21?1 x当0＜x＜1，g(x)＞0；当x≥1时，g'(x)≤0，x?1是g(x)的最大值点， g(x)≤g(1)??1 综上，a的取值范围是??1,???.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，g(x)≤g(1)??1即lnx?x?1≤0.
当0＜x＜1时，f(x)?(x?1)lnx?x?1?xlnx?(lnx?x?1)≤0； 当x≥1时，
f(x)?lnx?(xlnx?x?1)
1?1) x11 ?lnx?x(ln??1)
xx ?lnx?x(lnx? ≥0 所以(x?1)f(x)≥0
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2010年高考试题 - 数学理(全国卷1)解析版
