2uuuvuuuv???法一： 设?APB??,0????，PA?PB??PA??PB?cos???1/tan?cos?
2???2???2??1?sin1?2sin????2??2???2??2???1?2sin??
??2??sin2sin222cos2?uuuvuuuv?1?x??1?2x?1?2x??3?22?3 法二：换元：x?sin,0?x?1，PA?PB?xx22?或建系：园的方程为x?y?1，设A(x1,y1),B(x1,?y1),P(x0,0)，
22uuuvuuuv2PA?PB??x1?x0,y1???x1?x0,?y1??x12?2x1x0?x0?y12
AO?PA??x1,y1???x1?x0,y1??0?x12?x1x0?y12?0?x1x0?1
uuuvuuuv2222PA?PB?x1?2x1x0?x0?y12?x12?2?x0??1?x12??2x12?x0?3?22?3
（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A)
234383 (B) (C) 23 (D) 33312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析1】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有
112V四面体ABCD??2??2?h?h,当直径通过AB与CD的中点时,hmax?222?12?23,故
323Vmax?43. 3【解析2】过CD作平面PCD，AB?平面PCD,交AB于P,设点P到CD的距离为h,则有
112VABCD?22h?h，当直径通过AB与CD的中点时，最大hMax?222?1?23，
323∴VMAX?
二、填空题
13. {x|0?x?2} 14. ?43 3315 15. (1,) 16.
374 第6页 共19页
(13)不等式2x2?1?x?1的解集是 .
13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.
?2x2?1?(x?1)2,【解析1】原不等式等价于?解得0≤x≤2.
?x?1?0【解析2】
22??2x?1??1?x?2x?1?x?1?2x?1?1?x???0?x?2??x0?x?2?，
??1?x?122(14)已知?为第三象限的角，cos2???14．?3?,则tan(?2?)? . 541【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的7正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析1】因为?为第三象限的角,所以2??(2(2k?1)?,??2(2k?1)?)(k?Z)，又
3?4cos2???<0, 所以2??(?2(2k?1)?,??2(2k?1)?)(k?Z),于是有sin2??,
5254?tan?tan2?1?sin2?4?3??1. 4tan2????,所以tan(?2?)???4cos2?3471?tantan2?1?4333【解析2】?为第三象限的角， cos2???，2k??????2k???
524?4k??2??2??4k??3??2?在二象限，sin2??
5sin(?2?)sincos2??cossin2??cos2??sin2?1444tan(?2?)?????
???47cos(?2?)coscos2??sinsin2?cos2??sin2?444
(15)直线y?1与曲线y?x?x?a有四个交点，则a的取值范围是 . 2???515.(1,)【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解4法,着重考查了数形结合的数学思想.
【解析1】如图，在同一直角坐标系内画出直线y?1与曲线
1x?? 2a y x?1 2y?x2?x?ay=1 x ?a?1?y?x2?x?a,观图可知，a的取值必须满足?4a?1,解得?1??4O y?4a?1 4 第7页 共19页
1?a?5. 415?1?a?1?a? 44 (16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，uuruur且BF?2FD，则C的离心率为 .
【解析2】由数型结合知：a?16. 3 3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
【解析1】如图，|BF|?b2?c2?a,
y uuruur作DD1?y轴于点D1,则由BF?2FD，得 |OF||BF|233??,所以|DD1|?|OF|?c,
|DD1||BD|322即xD?B 3c,由椭圆的第二定义得2O D1 F xD a23c3c2|FD|?e(?)?a?
c22a3c222又由|BF|?2|FD|,得c?2a?,整理得3c?2a?ac?0.
a两边都除以a,得3e?e?2?0,解得e??1(舍去)，或e?【解析2】设椭圆方程为：
第一标准形式，F分 BD所成的比为2，
222. 3xc?3y?b3?0?b0?2x2b?2y233b?x2?xc?c;yc??y2?c???， 1?2221?222239c21b2?e???1代入， 2234a4b-----------------------------------------------------------
2010年全国卷1理科数学试题答案
一、选择题 题号 1 答案 A 2 B 3 B 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C 9 B 10 C 11 D 12 B 第8页 共19页
1.A 解析：本题考查了复数代数形式的运算法则.A.
3?2i(3?2i)?(2?3i)13i???i，故选2?3i(2?3i)?(2?3i)132.B 解析：本题考查了同角三角函数关系以及诱导公式.cos(?80)?cos80?k，
oo1?k21?k2oo，tan100??tan80??，sin80?1?k，tan80?kko2oy y=1 O A x-y-2=0 Z=x-2y x+y=0 x
故选B.
3.B 解析：本题考查了在线性约束条件下求目标函数的最值问题，即线性规划问题.如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数z?x?2y经过x?y?0与x?y?2?0的交点A(1,?1)时，取到最大值3，故选B.
64.A 解析：本题考查了等比数列的性质.(a1a2a3)?(a7a8a9)?a5?50，
a4a5a6?a53?52，选A.
2另法: 由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列,则(a4a5a6)?a1a2a3×
a4a5a6=50,∵an>0，所以a4a5a6?50?52. 5.C 解析：本题考查了二项式定理.(1?2x)展开式的通项为Tr?1?C(2x)?2Cx，
3r3rrr3r2(1?3x)展开式的通项为Tr??1?C(?3x)?(?1)Cx，因此，(1?2x)3(1?3x)5展
5r?5r?r?r?5r?3开式的各项为(?1)?2?C?C?xr?rr3r?5rr??23，当
rr???1时有r?0且r??3或r?2且r??023两种情况，因此展开式中x的系数为（-10）+12=2，故选C.
6.A 解析：本题考查了排列组合知识.不同的选法分两类，A类选修课1门，B类选修课2
2112门，或者A类选修课2门，B类选修课1门，因此，共有C3?C4?C3?C4?30种选法，故
选A.
7.D 解析：本题考查了立体几何中线面角的求法. BB1与平面ACD1所成角等于DD1与平面
ACD1所成角,在三棱锥D?ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影
为等边?ACD1的垂心即中心H，则?DD1H为DD1与平面ACD1所成角,设正方体棱长为
6a6?a,则cos?DD1H?3，故选D. a3 第9页 共19页
8.C 解析：本题考查了代数式大小比较的方法.a?log32?ln2?ln2?b，又ln3c?5?12?111?，a?log32?log33?，因此c?a?b，故选C.
2529.B 解析：本题考查了双曲线中有关焦点三角形的问题.由双曲线焦点三角形面积公式得
S?F1PF2?b2cot?2?1?cot30o?3，设P到x轴的距离为h，则由
6611，P到x轴的距离为，选B. S?F1PF2??F1F2?h??22?h?3，h?222210.C 解析：本题考查了对数函数、对数式的运算性质、对勾函数图像性质.由题意
0?a?1?b，由f(a)?f(b)得?lga?lgb，lga?lgb?0，ab?1，因此，a?2b?a?22，由对勾函数性质知y?x?在(0,1)单调递减，因此a?2b?3，即a?2bax的取值范围是(3,??)，故选C.
11.D 解析：本题考查了向量数量积的定义运算，考查了最值的求法，考查了圆的切线性质.
uuur设|OP|?x,?APB?2?,
uuuruuur122则|PA|?|PB|?x2?1，, sin??，cos2??1?2sin??1?2，
xtuuuruuur22222则PA?PB?x?1?x?1?(1?2)?x?2?3?22?3
xxuuuruuur2当且仅当x?2时，取“=”，故PA?PB的最小值为22?3，故选D.
12.B 解析：本题考查了球和多面体的组合体问题，考查了空间想象能力.如图，过OCD三点作球的截面，交AB于点M，由条件知，?OAB、?OCD均为边长为2的等边三角形，设M到CD的距离为h，A到面MCD的距离为h1，B到面MCD的距离为h2，则
111VA?BCD?VA?MCD?VB?MCD?S?MCD(h1?h2)???CD?h?(h1?h2)，因此，当
332AB⊥面MCD时， VA?BCD二、填空题
13. {x|0?x?2} 解析：本题考查了不等式的基本性质. 由2x2?1?x?1得
A M B
O D
1143???2?23?(1?1)?最大，故选B. 323C
x?1?0??x??1?0?x?2，不等式解集2x?1?x?1??2??22x?1?(x?1)0?x?2??2为. {x|0?x?2}.
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2010年高考试题 - 数学理(全国卷1)解析版
