2010年高考试题 - 数学理(全国卷1)解析版

2010年高考大纲卷全国Ⅰ理科数学试题解析

(必修+选修II)

第I卷

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AgB)?P(A)gP(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?3?R3 4n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k(k?0,1,2,…n)

一、选择题

1. A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C 11. D 12. B (1)复数

3?2i? 2?3i(A)i (B)?i (C)12-13i (D) 12+13i

1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析1】

3?2i(3?2i)(2?3i)6?9i?4i?6???i. 2?3i(2?3i)(2?3i)133?2i?3i2?2i??i 【解析2】

2?3i2?3i(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??

1?k21?k2A. B. - C.

kkk1?k2D. -k1?k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.

【解析1】sin80?1?cos80?1?cos(?80)?1?k,

o2o2o2 第1页 共19页

sin80o1?k2??. 所以tan100???tan80??ocos80ko【解析2】cos(?80?)?k?cos(80?)?k，

001?k2sin1000sin?180?80?sin80o?tan100????

?kcon100ocon?1800?800??con80o?y?1,?(3)若变量x,y满足约束条件?x?y?0,

?x?y?2?0,?则z?x?2y的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为

y x?y?0 A y?x l0:x?2y?01 O A 2 x x?y?2?0 ?2 zmax?1?2?(?1)?3.

【解析2】z?x?2y?y?11画图知过点?1,?1?是最大，x?z，zMax?1?2??1??3

2 2a4a5a6=

（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则 (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等

知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

33a2?a2?5，a7a8a9?(a7a9)ga8?a8?10, 【解析1】由等比数列的性质知a1a2a3?(a1a3)g所以a2a8?50,所以a4a5a6?(a4a6)ga5?a?(a2a8)?(50)?52 35(5)(1?2x)(1?3x)的展开式中x的系数是

13353163(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

3【解析2】a1a2a3=5?a2?5；

36333?10,?a5a7a8a9=10?a8?a2a8?50?a4a5a6?a5?52，

5.C【解析】

124513????2 (1?2x)(1?x)??1?6x2?12x?8x2??1?5x3?10x3?10x?5x3?x3?

????335 第2页 共19页

x的系数是 -10+12=2

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C4种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C3C4种不同的选法.所以不同的选法共有

121C3C4+C32C4?18?12?30种. 333【解析2】C7?C3?C4?30

1221

(7)正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

A

2362 B C D 33337.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析1】因为BB1//DD1,所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等,设DO⊥平面ACD1，由等体积法得

A1

D A

O C B

D1

B1

C1

VD?ACD1?VD1?ACD,

即

11S?ACD1?DO?S?ACD?DD1.设DD1=a, 331133211ACgAD1sin60o??(2a)2??a,S?ACD?ADgCD?a2. 222222则S?ACD1?S?ACDgDD1a33??a,记DD1与平面ACD1所成角为?, 所以DO?2S?ACD133a则sin??6DO3,所以cos??. ?3DD13 第3页 共19页

O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1【解析2】设上下底面的中心分别为O1,O；

所成角，cos?O1OD1?

（8）设a=log32,b=In2,c=5,则

A a

8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=log32=

12?12O1OOD1?1/36 ?3211, b=In2=,而log23?log2e?1,所以a

【解析

11,b=ln2=, 1?log2e?log23?2 ，

log23log2e1?111111??，∴c

22到x轴的距离为 (A)

36 (B) (C) 223 (D) 6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得

a2a2|PF1|?e[x0?(?)]?a?ex0?1?2x0，|PF2|?e[x0?)]?ex0?a?2x0?1.

cc由余弦定理得

|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2(1?2x0)2?(2x0?1)2?(22)20cos∠F1PF2=,即cos60?,

2|PF1||PF2|2(1?2x0)(2x0?1)解得x0?265322,所以y0?x0?1?，故P到x轴的距离为|y0|?

222 第4页 共19页

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

S?F1PF2600116?bcot?1cot?3?2ch?22h?h?

222222?2（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b?a?A,这也是命题者的用苦良心之处.

【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b?又0f(1)=1+

2?22,从而错选a12，所以a+2b=a? aa2,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a?(0,1)上a2=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞). 1?0?a?1?0?x?1??【解析2】由0

1111x?z，y??y???2??1?过点?1,1?时22xxuuuvuuuv（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA?PB的

最小值为

(A) ?4?2 (B)?3?2 (C) ?4?22 (D)?3?22

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.

uuur【解析1】如图所示：设|OP|?x,?APB?2?,

uuuruuur12cos2??1?22sin??1?2，则|PA|?|PB|?x2?1，, sin??， xtuuuruuur22222则PA?PB?x?1?x?1?(1?2)?x?2?3?22?3

xxuuuruuur2当且仅当x?2时，取“=”，故PA?PB的最小值为22?3，故

选D.

【解析2】

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A O P B