∵⊙O的半径为，
∴BQ=OC=9时，直线AB与⊙O相切． ①当AB运动到如图1所示的位置， BQ=PQ-PB=12-2t， ∵BQ=9， ∴8-4t=9， ∴t=（s）．
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB-PQ=2t-12， ∵BQ=9， ∴2t-12=9， ∴t=（s）．
∴当t为或时直线AB与⊙O相切．
考点: 1.切线的判定；2.勾股定理；3.矩形的性质；4.相似三角形的判定与性质．
7．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，2），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M ，使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴、y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM点P是弧AB上的动点.
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP·OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E.
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S，求S与t的函数关系式及S的取值范围.
【答案】（1）90°；（2）①（52，0）；②S=2t，5≤S≤10． 【解析】
试题分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（2，2），可得∠MOH=45°，OH=MH=2，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数；
（2）①由OH=MH=2，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点P与点B重合时，OP?OQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案；
②由OD=22，Q的纵坐标为t，即可得S=
1?22t=2t，然后分别从当动点P2与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答案．
试题解析：（1）过点M作MH⊥OD于点H，∵点M（2，2），∴OH=MH=2，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OM=AM，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°，∴∠AMB=90°；
22（2）①∵OH=MH=2，MH⊥OD，∴OM=MH?OH=2，OD=2OH=22，∴OB=4，
∵动点P与点B重合时，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=52，∴E点坐标为（52，0）；
②∵OD=22，Q的纵坐标为t，∴S=
1?22t=2t，如图2，当动点P与B点重2合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，∵OP=4，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=
5252，此时S=2?=5；
22如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，∴OP=22，∵OP?OQ=20，∴t=OQ=52，此时S=2?52=10；∴S的取值范围为5≤S≤10．
考点：圆的综合题． 8．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=23，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积. 【答案】（1）2；（2）??2． 【解析】
试题分析：（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO=
11AO=OE，22解直角三角形求解．
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
111DE=3．∵DE平分AO，∴CO=AO=OE．又222CO1∵∠OCE=90°，∴sin∠CEO==，∴∠CEO=30°．在Rt△COE中，
EO2试题解析：（1）∵直径AB⊥DE，∴CE=OE=
3CE==2，∴⊙O的半径为2；
cos3032（2）连接OF．在Rt△DCP中，∵∠DPC=45°，∴∠D=90°﹣45°=45°，∴∠EOF=2∠D=90°，
∴S扇形OEF=
90???22=π． 3601×OE×OF=2，∴2∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，∴SRt?OEF=
S阴影=S扇形OEF?SRt?OEF=??2．
考点：1．扇形面积的计算；2．线段垂直平分线的性质；3．解直角三角形． 9．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的 速度 移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形. （2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切 【答案】（1）4；（2）t为4s，
2028s，s时，⊙P与⊙Q外切． 33【解析】
试题分析：（1）四边形APQD为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解即可；
（2）主要考虑有四种情况，一种是P在AB上，一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．
试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
答：t为4时，四边形APQD为矩形 （2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切． ①如果点P在AB上运动．只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s）； ②如果点P在BC上运动．此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离； ③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=
20（s）； 3④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t-24-t=4，
解得t=
28（s）， 3∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s，而
28＜11， 32028∴当t为4s，s，s时，⊙P与⊙Q外切．
33考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．
10．（10分）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点D是AE的中点，
连接OD并延长交⊙O于点M，∠BOE=60°，cosC=
1，BC=23． 2
（1）求?A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线； （3）求弧AM的长度． 【答案】（1）30°；（2）证明见试题解析；（3）?． 【解析】 试题分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数． （2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．
（3）根据垂径定理求得∠AOM=60°，运用三角函数的知识求出OA的长度，即可求得弧AM的长度．
试题解析：（1）∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A，∴∠A=BOE=
1∠21×60°=30°； 21，∴∠C=60°，又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB2（2）在△ABC中，∵cosC=
⊥BC，∵AB为直径，∴BC是⊙O的切线；
（3）∵点D是AE的中点，∴OM⊥AE，∵∠A=30°，∴∠AOM=60°，在RT△ABC中，
AB1，∵BC=23，∴AB=BC?tanC=23?3=6，∴OA=AB=3，∴弧AM的长BC260??3==π． 180tanC=
考点：切线的判定．
11．已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
圆精典培优竞赛题(含详细答案)
