圆 培优竞赛
1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A．1232513 B． C．13 D．13 55312【答案】B．
【解析】
试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H， ∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o.
∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB=r.
3213?3?∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得PO?t??r??r. ∴
22??22GO?13r. 4∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴
AHOHOA,即??PAOAOPAHOHr. ??3r13rr2231321313213513∴AH?r, OH?r.∴GH?GO?OH?r?r?r.
131341352313rAH12∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴tan?APB?tan?AGH??13?.
GH5135r52故选B．
考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用.
2．如图，以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方
形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R、r的值可能是( ).
=5，r=2 =4，r=3/2 =4，r=2 =5，r=3/2 【答案】D 【解析】
本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。
做圆心O?和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H，连接OH并延长，交大圆于点J
DAP2rRaQO'JOGCB
则连接OA.由勾股定理有OH?R2?aa2，JH?R?R? 22所以2r?a?R?R2?a?2R。 2将各个选项数据代入，知D正确。
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为（ ）．
AEBDC
A．
765 B． C． D．1 876【答案】B. 【解析】
试题分析：作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连结EB，EC，设⊙E的半径为R，如图，
∵∠C=90°，AB=5，AC=3， ∴BC=AB2?AC2?4，而AD为中线，
∴DC=2，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切， ∴EG=EF=R，
∴HC=R，AH=3-R， ∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ADC，∴EH：CD=AH：AC， 即EH=
2(3?R)， 3∵S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC，
1112(3?R)1×5×R+×4×R+×3×=×3×4， 222326∴R=．
7∴
故选B．
考点：切线的性质．
4．如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63 o，那么∠B= ．
【答案】18°
【解析】连接ED,CE,由图可知∠B=∠DEB, ∠ECD=∠EDC=2∠B ∵∠A=63 o， ∴∠ECA=63 o
∴∠A+∠ECA+∠ECD+∠B=180o ∴∠B=18°
5．如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP= 1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为 .
【答案】3 15/8 【解析】
小圆方程x2 +y2 =1 MC方程 y = k(x+2), x =
y k?22k?k1?3k2解y1 = 21?k2k?k1?3k2y2 = ,
1?k22?1?3k2y1= = 2
2y22?1?3k2 +1?3k = 4-21?3k 31?3k = 2 1-3k =
22224 9k = 5 27此时AM=1.5,MB =6
MC =
36 2B点坐标为（
51，2745274) 9MBQ面积=
324273/2 = 98515 = 3 2786．如图，已知⊙O的半径为9cm，射线PM经过点O，OP＝15 cm，射线PN与⊙
5动点A自P点以cm/s的速度沿射线PM方向运动，同时动点B也自O相切于点Q．
2P点以2cm/s的速度沿射线PN方向运动，则它们从点P出发 s后AB所在直线与⊙O相切.
【答案】或. 【解析】
试题分析：PN与⊙O相切于点Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值,过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
试题解析: 连接OQ， ∵PN与⊙O相切于点Q， ∴OQ⊥PN，即∠OQP=90°， ∵OP=15，OQ=9，
∴PQ=10?6?12（cm）．
22
过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为∴PA=
5cm/s，点B的运动速度为2cm/s，运动时间为ts， 25t，PB=2t， 2∵PO=15，PQ=12， ∴
PAPB?， POPQ∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ， ∴∠PBA=∠PQO=90°，
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°， ∴四边形OCBQ为矩形． ∴BQ=OC．
圆精典培优竞赛题(含详细答案)
