第三章 平面问题的直角坐标解答
【3-4】试考察应力函数??ay3在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?
【解答】⑴相容条件:
不论系数a取何值，应力函数??ay3总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数?代入公式(2-24)，得
yOxhl图3-8?x?6ay,?y?0,?xy??yx?0
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；
当a>0时，考察?x分布情况，注意到?xy?0，故y向无面力 左端:fx?(?x)x?0?6ay ?0?y?h? fy???xy??0
x?0右端:fx???x?x?l?6ay (0?y?h) fy?(?xy)x?l?0
应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩
OA xfxyfx
主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：
eePP因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：
ppe(?x)A??2?0?e?h/6
bhbh/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。
Fxy(3h2?4y2)，能满足相容方程，并求出应32h力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画
【3-6】试考察应力函数??出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。
Oh/2h/2xyl图3-9(l?h)【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）
?4??4??4??222?4?0，显然满足 4?x?x?y?y（2）将?代入式（2-24），得应力分量表达式
3F4y212Fxy(1?2) ?x??,?y?0,?xy??yx??32hhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：
h①在主要边界上（上下边界）上，应精确满足应力边界条件式（2-15），y??，
2应力??y?y??h/2?0,??yx?y??h/2?0
h?h?h??因此，在主要边界y??上，无任何面力，即fx?y????0,fy?y????0
2?2?2??②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：
3F?4y2?x?0:fx?0,fy??1-2?
2h?h?x?l:fx??12Flyh33F?4y2?,fy???1?2?
2h?h?因此，各边界上的面力分布如图所示：
③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x=0上 x=l上
x向主矢：FN1=?y向主矢：FS1=?主矩：M1=?h/2-h/2h/2?h/2h/2fxdy?0, FN2??fydy?F, FS2??h/2?h/2h/2fxdy?0fydy??Ffxydy??Fl?h/2?h/2h/2
fxydy?0, M2???h/2因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
(a) (b)
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。 【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。
【解答】采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。
根据材料力学，弯曲应力?y主要与截面的弯矩有关，剪应力
yhobxq?g(h?b)图3-10?xy主要与截面的剪力有关，而挤压应力?x主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则?x?0
(2)推求应力函数的形式
将?x?0，体力fx?0,fy??g，代入公式（2-24）有
?2??x?2?fxx?0
?y对y积分，得
???f?x? （a） ?y??yf?x??f1?x? （b）
其中f?x?,f1?x?都是x的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。 将（b）式代入相容方程（2-25），得
弹性力学简明教程(第四版)_第三章_课后作业题答案
