__ ___________________________________________________________________________________________业___________专_______考______报____________ ____ ___题_ ___ ____ ____ ___ ___ ___ ___ 线___ _____答 ___ _ _ ___ ____ ___ ___要 ___ ___ __ ___ 孔___ ____不 __ ___ ___ ___ __ _ 证___ _ 考___线 _准_ __ _ __ __ 订 ____ __ ____封 ___ ___ __ ___ ___ ___ ___ 装___ ____ __ ______密_______名_______姓___________ ____ ____ ________________________________________________________________________________校__________学________考________报__________绝密★启用前
2020年韶关学院本科插班生招生考试
高等代数试卷A
注意事项:答卷前将密封线内的项目填写清楚 题号 一 二 三 四 五 六 签名 得分 得分 阅卷人
一. 填空题(本大题共6小题,每空2分,共24分)
1.设f(x)是次数大于 3的多项式, 且f(1)=5,f(2)=7, 则f(x)除以x2?3x+2得到的余式是___________; 3次实系数多项式的典型分解式共有_____种.
2. 六阶行列式D=|aij|中项a13a24a35a41a56a62在D中的符号是______; 设A是n阶矩阵, b是n维列向量, 当r(A)=_____时, 方程组AX=b可以用Cramer法则求解. 3.平面上三条直线aix+biy=ci,i=1,2,3围成一个三角形, 以A为该方程组的增广矩阵, 则r(A)=____; 设B是2020阶矩阵, r(B)=2019, B*是B的伴随矩阵, 则
r(B*)=____.
4.复数域
作为实数域
上的线性空间的维数dim=____; 数域
上的任意n线性
空间都与_____同构. 5. [x]n表示实数域
次数不超过n的所有多项式构成的线性空间,
[x]n上的线性
变换
?(f(x))=f?(x),?f(x)?[x]n, 则ker?=____; 设A为n阶幂等矩阵,
高等代数试卷 第1 页 共3页A2=A,r(A)=r, 则A的迹tr(A)=_____.
6.3维欧氏空间
3中向量?=(2,?1,2)与?=(3,2,?2)的夹角?=____; 设3阶实对称矩阵
A有特征值1,2,?3, 则二次型f(X)=XTAX通过正交替换X=QY,Q是正交矩阵,
Y=(y1,y2,y3)T, 变为标准形f(Y)=________________.
得分 阅卷人
三 .单项选择题(在每小题的备选答案中选出一个正确的答案,并将正确答案的号码填在题干的括号内.本大题共6小题,每小题3分,共 18分)
11137.设a,b,c,d是整数, 则行列式3334bdac可能等于以下哪个数?..............( )
abcd A) 2017 B) 2018 C) 2019 D) 2020
8.设n阶矩阵A通过第三种行列初等变换变成B, 则以下结论不正确的是…..( ) A) r(A)=r(B); B) A可逆的充要条件是B可逆; C) detA=detB; D) detA=kdetB,k?0,1
9. 设A,B都是n阶非零矩阵, 且AB=O,则r(A)和r(B)的结论正确的是…( ) A) 一个小于n, 一个等于0; B) 必有一个为0; C) 都小于n; D) 都等于n. 10. 以下哪个集合是
n的子空间?.............................................................................( )
nA) {(a1,,an)?n|a1?an}; B) {(a1,,an)n|?ai=1}
i=1nC) {ann1,,an)? | ?ai=0} B) {a1,,an)?ai?}
i=1
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11.设A,B是n阶矩阵, 且A与B相似, 则下列结论不正确的是………….( ) A) A与B有相同的秩和行列式; B) A与B有相同的迹和特征值; C) A与B有相同的特征值和特征向量; D) A与B有相同的特征多项式; 12. 元素全是整数且同时含有元素1,0,?1的三阶正交矩阵共有多少个?......( ) A) 12; B) 24; C) 36; D) 48 得分 阅卷人 三. 计算题(每题5分, 共15分)
13. 设A=(?1,?2,?3,?4)是四阶矩阵, 且?1,?2,?3线性无关, ?4=?1+2?2+3?3,
?=?1+?2+?3+?4, 求AX=?的通解.
14. 设[x]3表示实数域上所有次数不超过3的多项式构成的线性空间, [x]3的线性
变换?(f(x))=f?(x),对任意f(x)?[x]3, 求?在基1,x,1212!x,3!x3下的矩阵.
高等代数试卷 第2 页 共3页15.设四元方程组??x1?x2?x3+x4=0x的解空间为W, 求W⊥的一组标准正交基.
?x1+2+x3+x4=0
得分 阅卷人
四.辨析题 判断以下命题的是否正确, 如果你认为正确,请证明; 如果是错误的,请证明或给出反例. (10分)
16. 存在n阶实矩阵A使得A2=?2E, 这里E是n阶单位矩阵
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五. 证明题(15分) 17.设t1,t2,,ttn是互不相同的实数, 证明e1x,et2x,,etnx线性无关.
得分 阅卷人
六. 综合题(18分)
?637?18. 已知实二次型f(x,xT??8?X,X=(xT12,x3)=X761,x2,x?3),?326?写出二次型的矩
??阵A, 并求正交替换X=QY, Y=(yyT1,y2,3),将二次型化为标准形.二次型是否是正
定二次型?
高等代数试卷 第3 页 共3页