精品资料
高等数学基础归类复习
一、单项选择题
1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A.
f(x)?(x)2，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x
C.f(x)?lnx3，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?x2?1x)x?1
1-⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?的图形关于（C ）对称．
A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x
设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（D ）对称．
A. y?x B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点 e?x?ex.函数y?2的图形关于（ A ）对称．
(A) 坐标原点 (B)
x轴 (C) y轴 (D) y?x
1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A.
y?ln(1?x2) B. y?xcosx C.
ax?a?xy?2 D.
y?ln(1?x)下列函数中为奇函数是（A ）． A.
y?x3?x B. y?ex?e?x C.
y?ln(x?1) D. y?xsinx
下列函数中为偶函数的是（ D ）．
A
y?(1?x)sinx B y?x2x C y?xcosx D y?ln(1?x2)
2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．
A. limx2x??x2?2?1 B. limx?0ln(1?x)?0 C. limsinxx??x?0 D. lim1x??xsinx?0
2-2当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．
A. sinxx B. 1x C. xsin1x D. ln(x?2)
当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．A 1x B sinxx C ex?1 D xx2
.当x?0时，变量（D ）是无穷小量．A 1sinxxx B x C 2 D ln(x?1)
下列变量中，是无穷小量的为（ B ）
Asin1x?x?0? B
ln?x?1??x?0?1 C
ex?x???
D.x?2x2?4?x?2?
3-1设
f(x)在点x=1处可导，则limf(1?2h)?f(1)h?0?（ D ）．
f?(1)hA. B. ?f?(1) C. 2f?(1) D. ?2f?(1)
设
f(x)在xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则limh?0h?（ D ）． A f?(x0) B 2f?(x0) C ?f?(x0) D ?2f?(x0) 设
f(x)在xf(x0)0可导，则limf(x0?2h)?h?02h?（ D ）．
A. ?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)
设
f(x)?ex，则?x)?f(1)?limf(1?x?0?x?（ A ）
A e B. 2e C. 112e D. 4e 3-2. 下列等式不成立的是（D ）．
A.exdx?dex B ?sinxdx?d(cosx) C.
12xdx?dx D.lnxdx?d(1x)
下列等式中正确的是（B ）．A.d(11?x2)?arctanxdx B. d(1dxx)??x2 C.d(2xln2)?2xdx D.d(tanx)?cotxdx
4-1函数f(x)?x2?4x?1的单调增加区间是（ D ）．
A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??)
函数
y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）．
A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 .函数
y?x2?x?6在区间（－5，5）内满足（ A ）
A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升再单调下降 D 单调上升
. 函数y?x2?2x?6在区间(2,5)内满足（D ）．
A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上
升
可编辑
精品资料
5-1若
f(x)的一个原函数是
1，则f?(x)?（D ）． A. lnxx B.
?1x2 C.
1 D. x2x3
.若F(x)是 AC5-2若 A. A.
f(x) 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。
?xaf(x)dx?F(x)?F(a) B
?baF(x)dx?f(b)?f(a)
f?(x)?F(x) D?f?(x)dx?F(b)?F(a)
abf(x)?cosx，则?f?(x)dx?（ B ）．
sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c
下列等式成立的是（D ）．
?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x)
d C. d?f(x)dx?f(x) D. f(x)dx?f(x) ?dxd132323f(x)xf(x)（ B ）． A. B. C. xf(x)dx?f(x) D.
dx?31f(x3) 3d11222xf(x)xf(x)dx （ D ） A B C D xf(x)dx?f(x)dxf(x)?dx221f(x)dx?（ B ）． ⒌-3若?f(x)dx?F(x)?c，则?x A. F(x)?c B. 2F(x)?c C. F(2x)?c D. 1xF(x)?c
?x?x?x?F(e)?c, 无穷积分收敛的是 ef(e)dx??2?x?x2?1,x?0若函数f(x)??，则f(0)? 1 ．
xx?0?2,1?x?2若函数f(x)??(1?x),x?0，在x?0处连续，则k? e
?x?0?x?k,?sin2x?x?0.函数f(x)??x在x?0处连续，则k? 2
?x?0?k?x?1,x?0函数y??的间断点是 x=0 ．
?sinx,x?0x2?2x?3函数y?的间断点是 x=3 。
x?31函数y?的间断点是 x=0 x1?e3-⒈曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是 1/2 ．
曲线曲线.曲线
函数
f(x)?ln(x?5)?1的定义域是 （－5，2）
．
f(x)?x?2在(2,2)处的切线斜率是 1/4 ．
f(x)?ex?1在（0，2）处的切线斜率是 1 ．
f(x)?x3?1在(1,2)处的切线斜率是 3 ．
π
3-2 曲线f(x)?sinx在(,1)处的切线方程是 y = 1 ．切线斜率是 0
2
曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1
4.函数y?ln(1?x)的单调减少区间是 （－∞，0 ） ．
2补充：
???11dx 2x 函数
二、填空题
f(x)?10x?10?x的图形关于 y 轴 对称。
x2?9?ln(1?x)的定义域是 （3，+∞） ．
x?3f(x)?ex的单调增加区间是 （0，+∞） ．
2.函数y?(x?1)?1的单调减少区间是 （－∞，－1 ） ．
2.函数f(x)?x?1的单调增加区间是 （0，+∞） ．
函数 函数5-1d2y?e?x22的单调减少区间是 （0，+∞） ．
⒈函数f(x)?函数
?xe?dx?
e?xdx
2 ． .
d22sinx ． sinxdx??dxy?x?4?x的定义域是 （2，3） ∪ （3，4 ]
ln(x?2)可编辑
?(tanx)?dx?
tan x +C ．
精品资料
若5-2
?f(x)dx?sin3x?c，则f?(x)?
351－9 sin 3x ．
1 (sinx?)dx? 3 ．??32x3de ln(x?1)dx? ??1x2?1dx? 0 ．
dx?10
下列积分计算正确的是（ B ）．
A
1x2?6x?8x2?6x?8(x?4)(x?2)x?22?lim3-1 lim2 解： lim2=lim?
x?4x?5x?4x?4x?5x?4x?4(x?4)(x?1)x?4x?13x?3??x?2?x2?x?6?x2?x?6x?253-2 lim2 lim2?lim?lim?
x??3x?x?12x??3x?x?12x??3?x?3??x?4?x??3x?47x2?3x?2x2?3x?2(x?2)(x?1)x?113-3 lim 解 lim?lim?lim? 22x?2x?2x?2x?2x?4(x?2)(x?2)x?24x?412xsinxsin1?x2?1其他： lim?lim?2 ?lim2?0， limx?0x?0x?0x?01sinxsinxx?1?1x2222x?6x?5x2x?6x2x22lim2?lim2?1， lim2?lim2? x??x?4x?5x??xx??3x?4x?5x??3x3??1(ex?e?x)dx?0 B
?1?1(ex?e?x)dx?0 C
?1?1x2dx?0 D
?1?1|x|dx?0
三、计算题
（一）、计算极限（1小题，11分）
（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。 （2）利用连续函数性质：类型1： 利用重要极限 f(x0)有定义，则极限limf(x)?f(x0)
x?x0sinxsinkxtankxlim?1 ， lim?k， lim?k 计算 x?0x?0x?0xxxsin6xtan8xtan8xx.?8?2 （0807考题）计算lim． 解： lim=limx?0sin4xx?0sin4xx?0sin4x4xtan8xsin6x6 x1-1求lim． 解： limsin6x?lim??x?0sin5xx?0sin5xx?0sin5x5xtanxtanx1tanx11 解： lim?lim??1?
x?03xx?03x3x?0x33tan3xtan3xtan3x1-3 求lim 解：lim=lim.3?1?3?3
x?0x?0x?0xx3xsin(x?a)x?a?1， lim?1 化简计算。 类型2： 因式分解并利用重要极限 limx?a(x?a)x?asin(x?a)1-2 求 lim2-1
求
sinxsinx1sinx1． 解 lim?lim?
x?02xx?02xx?02x2x2?2x?3(x?1).(x?3)?1?(?1?3)??4 （0707考题.）lim=limx??1sin(x?1)x??1sin(x?1)（0801考题. ）计算lim（二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）
（1）利用导数的四则运算法则
(u?v)??u??v? (uv)??u?v?uv?
（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式
x2?1limx??1sin(x?1)． 解：
x2?1(x?1)lim.(x?1)?1?(?1?1)??2 =limx??1sin(x?1)x??1sin(x?1)sin?x?1?sin(x?1)sin(x?1)111lim?lim.?1??2-2lim 解：
x?1x?1x?1(x?1)(x?1)1?12x2?1x2?1x2?4x?3(x?3)(x?1)x2?4x?3?lim?lim(x?1)?2 2-3lim 解： limx?3sin(x?3)x?3x?3x?3sin(x?3)sin(x?3)类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限
1aa?1 (x)??ax xxxuu (e)??e (e)??e.u? (sinx)??cosxx2x22x2??(e)?e.(x)?2xe(cosx)???sinxsinx (e)??esinx.(sinx)??esinxcosx 2(tanx)??secxcosxcosxcosx??(e)?e.(cosx)??esinx2(cotx)???cscx(sinu)??cosu.u?(cosu)???sinu.u?(lnx)??(sinx2)??cosx2.(x2)??2xcosx2(sinex)??cosex.(ex)??excosex (cosx2)???sinx2(x2)???2xsinx2(cose)???sinex.(ex)???exsinex 可编辑
精品资料
类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。 1-1
（三）积分计算：（2小题，共22分） y?(xx?3)ex 1313?3??x???3???33xx?xx 解：y?＝?x2?3?e??x2?3??e??x2e??x2?3?e??x2?x2?3?e
2?2???????21-2 y?cotx?xlnx
解：
y??(cotx)??(x2lnx)???csc2x?(x2)?lnx?x2(lnx)???csc2x?2xlnx?x
x1-3 设y?etanx?lnx，求y?．
解
：
11dx???d(?x) x211coscosxdx 解：xdx??cos1d(1)??sin1?c
计算??x2?xxxx211sinsinxdx??sin1d(1)?cos1?c xdx． 解： 0707.计算?x2?xx?x2x凑微分类型1：??y??(extanx)??(lnx)??(ex)?tanx?ex(tanx)??11?extanx?exsec2x? xx2类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 2-1 2-2 解
ee10701计算?2dx． 解： ?2dx???exd()??ex?c
xxx1dx?2??dx 凑微分类型2：??x.计算
1x1x111y?sinx?lnx，求y? 解：y??(sinx)??(lnx)??2xcosx?
xy?cosex?sinx2，求
22?cosx：
x2xx22xx20807.计算
??xsinxxdx． 解： ?cosxxsinxxexdx?2?cosxdx?2sinx?c
dx． 解：?dx?2?sinxdx??2cosx?c
xy??(cose)??(sinx)???sine.(e)??cosx.(x)???esine?2xcosx55?5x5?5x2-3 y?lnx?e，求， 解：y??(lnx)??.(e)??ln4x?5e?5x
x类型3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 22222
0801.计算
exxdx 解：?xdx?2?exdx?2e?c xxxx求y? 。 解：y??(e)?cosx?e(cosx)??2xecosx?esinx y?excosx，cosxx其他：y?2?，求y?。
x 解：
cosx(cosx)?.x?cosx.(x)?xsinx?cosxx)??2xln2??2ln2? 22xxxy?esinx?sinx2y?0807.设，求 解：
y??(esinx)??(sinx2)??esinxcosx?2xcosx2 y??(2x)??(11， ?dx??dlnx??x??xdx???d(a?lnx) 11dlnx1计算?dx 解：?dx????du?ln|lnx|?c
xlnxxlnxlnxue2?lnx.计算 ?1xdx凑微分类型3：解：
?
e1e152?lnxdx??(2?lnx)d(2?lnx)?(2?lnx)2?
1x221e5 类定积分计算题，分部积分法 型ay?xe，求y? 解：y??(x)?e?x(e)??e?2xe
sinx?x2，求 解：y??esinx.(sinx)??(x2)??cosxesinx?2x 0707.设y?e1xxxxx0701.设y?lnx?cose，求 解：y??(lnx)??sine.(e)???esine
x0801.设
x2x2x2x22x21：11a?11xa?11a?1axlnxdx?lnxdx?xlnx?xdx?lnx?xa?1?c ???2a?1a?1a?1a?1(a?1)可编辑
精品资料
计算
?exlnxdx 解： a?1， ?xlnxdx?112?lnxdx2?12x2lnx?14x2?c
?ex?1e2x2x2e1?e21xlnxd2?1lnxdx?(2lnx?4)1?4 ?edx?(xlnx?x)e1lnx1?(e?e)?(0?1)?1 计算?elnx1x2dx 解：a??2 ， ?lnxx2dx???lnxd(1x)??11xlnx?x?c ?elnxe1lnx1e21x2dx???1lnxd(x)?(?x?x)1?1?e计算?elnx1xdx 解：a??12，?lnxxdx?2?lnxdx?2xlnx?4x?c ?elnx1xdx2?e1lnxdx?(2xlnx?4x)e1??2e?4 0807
?exlnxdx?2?e3lnxd x2?(23x2lnx?43x2)e?231e231399?419
0707
?ex2lnxdx?1e1313e23113?1lnxdx3?(3xlnx?9x)1?9e?9 类型2 ?xeaxdx?1ax1ax1axa?xd(e)?axe?a2e?c ?12x112x12x12x11210xedx?2?0xde?(2xe?4e)0?4e?4 ?10xe?xdx???10xde?x?(?xe?x?e?x)10??2e?1?1 ?1?2111?2x1?2x13?210xexdx??2?0xde?2x?(?2xe?4e)0??4e?4 （0801考题） ?1x1xxx10xedx??0xde?(xe?e)0?1 类型3： ?xsinaxdx??1111axcosax?a?cosaxdx??axcosax?a2sinax?c ?xcosaxdx?1axsinax?111a?sinaxdx?axsinax?a2cosax?c ????20xsinxdx???20xdcosx?(?xcosx?sinx)2?1?0?1 0????20xcosxdx??2xdsinx?(xsinx?cosx)2??02?1
0?xsin2xdx??11112xcos2x?2?cos2xdx??2xcos2x?4sin2x?c ??20xsin2xdx??1??2?2xdcos2x?(?1x1??
02cos2x?4sin2x)2??0?044?xcos2xdx?1?=
?22xsin2x|02?1??21102?0sin2xdx?4cos2x|02??2
四、应用题（1题，16分）
类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足
h2?r2?l2
圆柱体的体积公式为 V??r2h?π(l2?h2)h
求导并令 V??π(l2?3h2)?0
l 得h?363l，并由此解出r?3l． 即当底半径r?63l，高h?33l时，圆柱体的体积最大．
类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。
2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V??.r2.h,h?V?.r2
表面积为S?2πr2?2πrh?2πr2?2Vr
S??4πr?2VVr2， 由S??0得r?32π，此时h?2r?34Vπ。
可编辑
20202014电大高等数学基础考试必考重点
