江苏省镇江市2024—2024学年高三上学期第一次调研考试
数学试卷
2024．01
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．） ．．．．．．
1．已知集合A＝xx?2x?0，B＝{﹣1，1，2}，则AIB＝ ． 2．设复数z?1??2?2（其中i为虚数单位），则z＝ ． i3．右图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．
x2y2??1的右焦点为焦点的抛物 4．顶点在原点且以双曲线
124线方程是 ． 第3题
5．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x?my?m?2?0，l2：mx?(m?2)y?1?0，若直线l1∥l2，则m＝ ． 6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．
?x?y?1?0?7．若实数x，y满足条件?x?y?1?0，则z?3x?2y的最大值为 ．
?x?3y?3?0?8．将函数f(x)?cos2x的图象向左平移
?个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得6到函数y?g(x)的图象，则g()＝ ．
9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，则三棱锥B—ECF的体积为 ． 10．等比数列?an?的前三项和S3?42，若a1，a2?3，a3成等差数列，则公比q＝ ． 11．记集合A＝[a，b]，当??[??4??2，]时，函数f(?)?23sin?cos??2cos?的值域为B，若“x?A”64是“x?B”的必要条件，则b﹣a的最小值是 ．
?1x3??()?x，x?012．已知函数f(x)??2，若对任意的x?[m，m＋1]，不等式f(1?x)?f(x?m)恒成
??2x?x3，x?0?立，则实数m的取值范围是 ．
13．过直线l：y?x?2上任意一点P作圆C：x?y?1的一条切线，切点为A，若存在定点B(x0，y0)，
22使得PA＝PB恒成立，则x0﹣y0＝ ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知三个点A(2，1)，B(1，﹣2)，C(3，﹣1)，点P(x，y)满足
uuuruuuruuuruuuruuuruuurOP?OC(OP?OA)?(OP?OB)??1，则uuur2的最大值为 ．
OP二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程．．．．．．．
或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是AP的中点，AB⊥BD, PB⊥PD，平面PBD⊥底面ABCD．
（1）求证：PC∥平面BDE； （2）求证：PD⊥平面PAB．
16．（本题满分14分）
uuuruuur如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB＝14，BD＝6，BA?BD?66．
（1）若C＞B，且cos(C﹣B)＝
13，求角C； 14ruuur1uuu（2）若△ACD的面积为S，且S?CA?CD，求AC的长度．
2
17．（本题满分14分）
x2y2在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2?2?1(a＞b＞0)的长轴长为4，左准线l的方程为x＝﹣4．
ab（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝
24，求直线l1的方程；7②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G(?5，0)，求证：A1，B，G三点共线． 2
18．（本题满分16分）
某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至
?到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆弧轨道MA道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通
过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为?，轨道总长度为l米．
（1）试将l表示为?的函数l(?)，并写出?的取值范围； （2）求l最小时cos?的值．
19．（本题满分16分）
已知函数f(x)?lnx?a(x?x)(a?R)．
2
（1）当a＝0，证明：f(x)?x?1；
（2）如果函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x1)?f(x2)?k恒成立，求实数k的取值范围；
（3）当a＜0时，求函数f(x)的零点个数． 20．（本题满分16分）
已知n?N，数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?an?1?a1；数列?bn?的前n项和为Tn，且满足
?1Tn?bn?n?n(1?bn)，且a1?b2．
2（1）求数列?an?的通项公式； （2）求数列?bn?的通项公式； （3）设cn?an?，问：数列?cn?中是否存在不同两项ci，cj（1≤i＜j，i，j?N），使ci＋cj仍是数bn列?cn?中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由．
参考答案
11．3 12．15．
13． 14．
16．
17．
2024届江苏省镇江市高三上学期第一次调研考试（期末）数学试题含答案
