26．（本题7分） 解：根据题意，得
2(1＋2x)×200(1＋2x)＋(1＋4x)×100(1＋x)＝(2×200＋1×100)(1＋4.4x)．…4分 整理，得20x2－x＝0．
解这个方程，得x1＝0.05，x2＝0（不合题意，舍去）．……………………6分 所以x的值是0.05．……………………7分
27．（本题12分）
解：（1）100、130或160．……………………3分
（2）选择①：
连接PB、PC．
∵DB＝DC，∴DB＝DC．
∴∠BPD＝∠CPD．……………………4分 ∵∠APB＋∠BPD＝180°，∠APC＋∠CPD＝180°， ∴∠APB＝∠APC．……………………6分
∴P是△ABC的等角点．……………………7分 选择②： 连接PB、PC．
∵BC＝BD，∴BC＝BD．
∴∠BDC＝∠BPD．……………………4分
∵四边形PBDC是⊙O的内接四边形，
∴∠BDC＋∠BPC＝180°．……………………5分 ∵∠BPD＋∠APB＝180°，
⌒⌒⌒⌒∴∠BPC＝∠APB．……………………6分 ∴P是△ABC的等角点．……………………7分
B P A
A A B P C Q C O B O C D
①
D ②
③
（3）如图③，点Q即为所求．……………………10分 （4）③⑤．……………………12分
对于（4）中⑤的说明：
由（3）可知，当△ABC的三个内角都小于120°时，△ABC必存在强等角点Q． 如图④，在三个内角都小于120°的△ABC内任取一点Q′，连接Q′A、Q′B、Q′C，将△Q′AC绕点A逆时针旋转60°到△MAD，连接Q′M． ∵由旋转得Q′A＝MA，Q′C＝MD，∠Q′AM＝60°， ∴△AQ′M是等边三角形． ∴Q′M＝Q′A．
∴Q′A＋Q′B＋Q′C＝Q′M＋Q′B＋MD． ∵B、D是定点，
④
C
B
Q′ M
D
A
∴当B、Q′、M、D四点共线时，Q′M＋Q′B＋MD最小，即Q′A＋Q′B＋Q′C最小． 而当Q′为△ABC的强等角点时，∠AQ′B＝∠BQ′C＝∠CQ′A＝120°＝∠AMD． 此时便能保证B、Q′、M、D四点共线，进而使Q′A＋Q′B＋Q′C最小．
江苏省南京市秦淮区2024~2024学年第一学期九年级(上)期末数学试卷(含答案)
