27．（12分）
数学概念
若点P在△ABC的内部，且∠APB、∠BPC和∠CPA中有两个角相等，则称P是△ABC的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P是△ABC的“强等角点”． 理解概念
（1）若点P是△ABC的等角点，且∠APB＝100°，则∠BPC的度数是 ▲ °． （2） 已知点D在△ABC的外部，且与点A在BC的异侧，并满足∠BDC＋∠BAC＜180°．
作△BCD的外接圆O，连接AD，交⊙O于点P．
当△BCD的边满足下面的条件时，求证：P是△ABC的等角点． （要求：只选择其中一道题进行证明！） ①如图①，DB＝DC．
②如图②，BC＝BD．
深入思考
（3）如图③，在△ABC中，∠A、∠B、∠C均小于120°，用直尺和圆规作它的强等
角点Q．（不写作法，保留作图痕迹） （4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点；
②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；
③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等； ⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点， 其中，正确的有 ▲ ．（填序号）
D ①
② （第27题）
D ③
B O O C
C B C B
P A A P A
2019/2020学年度第一学期第二阶段学业质量监测
九年级数学参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（每小题2分，共计12分）
题号 答案
二、填空题（每小题2分，共计20分）
7．x1＝2，x2＝－2 8．27? 9．(x＋2)2＝5 10．0.5 11．4 12．b≤0 13．2 14．x[120－0.5(x－60)]＝8800 15．12－316．42－23
三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17．（本题6分）
解：移项，得x2－2x＝0． ……………………………………………………………2分
原方程可变形为x(x－2)＝0．………………………………………………… 4分 x＝0或x－2＝0．
所以x1＝0，x2＝2．………………………………………………… 6分
18．（本题6分）
解：方法一
∵a＝2，b＝3，c＝－1，………………………………………………… 1分 ∴b2－4ac＝32－4×2×(－1)＝17＞0．…………………………………………3分
－3±17－3±17
∴x＝＝．………………………………………………… 4分
42×2－3＋17－3－17
∴x1＝，x2＝．…………………………………………… 6分
44 方法二
移项，得2x2＋3x＝1．
31
两边都除以2，得x2＋x＝．………………………………………………… 1分
22
3－
4
? 3
1 D 2 A 3 C 4 C 5 D 6 C 332132
配方，得x2＋x＋??＝＋??．
2?4?2?4??x＋3?2＝17．………………………………………………… 3分 ?4?16
317
解这个方程，得x＋＝±．………………………………………………… 4分
44－3＋17－3－17 所以x1＝，x2＝．………………………………………… 6分
44
19．（本题8分）
（1）证明：方法一
原方程可化为x2－2(m－1)x＋m2－2m＝0．……………………………1分
∵a＝1，b＝－2(m－1)，c＝m2－2m，…………………………… 2分
∴b2－4ac＝[－2(m－1)]2－4(m2－2m)＝4＞0．……………………… 4分
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根．……………… 5分
方法二
原方程可化为(x－m)(x－m＋2)＝0．………………………… 2分
x－m＝0或x－m＋2＝0．
x1＝m，x2＝m－2．………………………………………………… 4分 ∵m＞m－2，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根．……………… 5分 （2）1或－3．……………………8分
20．（本题8分）
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°．……………………3分
∴∠A＋∠ABC＝90°．……………………4分 ∵∠CBD＝∠A，
∴∠ABD＝∠CBD＋∠ABC＝90°，即AB⊥BD．……………………6分 ∵点B在⊙O上，……………………7分 ∴直线BD与⊙O相切．……………………8分
21．（本题8分）
解：设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm．……………………1分
根据题意，得x(6－x)＝7．……………………4分
解这个方程，得x1＝3＋2，x2＝3－2．……………………6分
当x1＝3＋2时，6－x1＝3－2；当x2＝3－2时，6－x2＝3＋2．…… 7分
答：用一根长12 cm的铁丝能围成面积是7 cm2的矩形．……………………8分
如果用二次函数的性质作答，那么请按下列评分标准给分：
设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm，围成的矩形面积为y cm2．………1分 根据题意，得 y＝x(6－x) ……………………4分
＝－x2＋6x
＝－(x－3)2＋9．……………………6分
由－1＜0知，当x＝3时，y的值最大，最大值是9．
∴当0＜x＜6时，0＜y≤9．∴y的值可以是7．……………………7分
答：用一根长12 cm的铁丝能围成面积是7 cm2的矩形．……………………8分
22．（本题8分）
1
解：（1） ．……………………2分
2
（2）小明做这3道题，所有可能出现的结果有：（A，A，A），（A，A，B），（A，B，
A），（A，B，B），（B，A，A），（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B），共有8种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“这3道题全做对”（记为事件H）的结果只有1种，
1
所以，P（H）＝．……………………8分
8
23．（本题9分）
解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC．……………………1分
∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC． ∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上． ········· 2分 1
∵BC＝4，∴BD＝BC＝2． ··································· 3分
2∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝210，
∴AD＝AB2－BD2＝6． ······································· 4分 设OA＝OB＝r，则OD＝6－r．
∵在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∴OD2＋BD2＝OB2，即(6－r)2＋22＝r2． ………6分
B O A D C
1010
解得r＝，即⊙O的半径为．……………………7分
33
如果用相似三角形的相关知识求解，那么请按下列评分标准给分： 过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点O作OE⊥AB，垂足为E．………1分 ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC． ∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上． ········· 2分 1
∵BC＝4，∴BD＝BC＝2． ··································· 3分
2∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝210，
∴AD＝AB2－BD2＝6． ······································· 4分 1
∵OE⊥AB，∴AE＝AB＝10． ····························· 5分
2∵∠AEO＝∠ADB＝90°，∠OAE＝∠BAD， ∴△OAE∽△BAD．……………………6分
AEAO10AO
＝，即＝． ADAB6210
1010
∴AO＝，即⊙O的半径为．……………………7分
33∴
（2）25或217．……………………9分
24．（本题8分）
解：（1）100，10．……………………4分
（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；
乙的数学成绩在100分以上（含100分）的次数更多．……………8分
25．（本题8分）
解：（1）如图①，正六边形ABCDEF即为所求．……………………4分
（2）如图②，正八边形ABCDEFGH即为所求．……………………8分 F G E H F B E O A D C
A O D A O E
江苏省南京市秦淮区2019~2020学年第一学期九年级(上)期末数学试卷(含答案)
