兰州外语职业学院教案专用纸
专业： 科目：《经济数学基础》 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫
1.4 极限的性质与运算法则
教学目标: 1.掌握极限的性质及四则运算法则。 2.会应用极限的性质及运算法则求解极限 教学重点：极限的性质及四则运算法则； 教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳 教学课时：2学时
教学方法：讲授法、归纳法、练习法 教学过程： 1.4.1 极限的性质
性质1.5（唯一性） 若极限limf(x)存在，则极限值唯一． 性质1.6（有界性） 若极限limf(x)存在，则函数f(x)在x0x?x0的某个空心邻域内有界．
性质1.7（保号性） 若limf(x)?A，且A?0（或A?0），
x?x0则在x0的某空心领域内恒有f(x)?0（或f(x)?0）．
若limf(x)?A，且在x0的某空心邻域内恒有f(x)?0（或
x?x0f(x)?0）,则A?0（或A?0）．
1.4.2 极限的四则运算法则
定理1.3 若limu(x)?A，limv(x)?B，则 (1) lim?u(x)?v(x)??limu(x)?limv(x)?A?B；
(2) lim?u(x)?v(x)??limu(x)?limv(x)?A?B；
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(3)当limv(x)?B?0时，lim 证 我们只证(1)．
u(x)limu(x)A?? v(x)limv(x)B 因为limu(x)?A，limv(x)?B，由定理1.2有u(x)?A??，
v(x)?B??，其中α，β是同一极限过程的无穷小量，于是
u(x)?v(x)?(A??)?(B??)?(A?B)?(???)．根据无穷小量的性质，???仍是无穷小量，再由定理1.2的充分性可得．lim?u(x)?v(x)??limu(x)?limv(x)?A?B．
上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况． 推论 设limu(x)存在，c为常数，n为正整数，则有 (1) lim?c?u(x)??c?limu(x)；
(2) lim?u(x)??[limu(x)]n．
n 在使用这些法则时，必须注意两点：
(1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在．
(2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零． 例1 求lim(x2?2x?5)． （初等函数定义域内某点的极限） x??1解 lim(x2?2x?5) （limf(x)?f(x0)） x?x0x??1?lim(x2)?lim(2x)?lim5
x??1x??1x??1?lim(x2)?lim(2x)?lim5 x??1x??1x??130
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?(?1)2?2?(?1)?5?8．
例2 求xlim(axn?axn?1??x?a)． ?001?an?1n解 x?lim(axn?axx?a) x01n?1???an?1n0?lima0xn?lima1xn?1??liman?1x?x?x0x?x0x?xliman 0x?x0?an?an?10x01x0???an?1x0?an．
可见多项式p(x)当x?x0时的极限值就是多项式p(x)在x0处的函数值，即limp(x)?p(x)．（1.4.1x?x0）
0例3 求xlim2x2?3x?1．?0x?2
解 先求分母极限．
因为lim(x?2)?0?2?2?0，
x?02?3所以xlim2x2?3x?1xlim(2xx?1)?0?0x?2? xlim(x?2)?0
?2?02?3?0?110?2?2．
一般地，当(x)?0时，有p(x)?p(xlimqlim0)． （1.4.2）x?x0x?x0q(x)q(x0)例4 求4cxlimx?3． “型” ?1x2?3x?2031
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解 先求分母的极限．
22lim(x?3x?2)?1?3?1?2?0, x?1先考虑原来函数倒数的极限.
2?3x?2)(xlimx2?3x?2x?10???0 lim4x?3(4x?3)4?3limx?1x?1x2?3x?2即是x?1时的无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，4x?34x?3得到lim??．
2x?1x?3x?2x2?4x?30“型” 例5 求lim． 0x?3x2?9 解 先求分母极限．
22lim(x?9)?3?9?0,再求分子极限． x?322lim(x?4x?3)?3?4?3?3?0． x?3消去公因子，再求极限．
x2?4x?3(x?3)(x?1)x?11??lim? limlim2x?3x?9x?3(x?3)(x?3)x?3x?33注意：因为lim(x2?9)?0，所以不能写成x?32?4x?3)(xlimx2?4x?3x?3?． lim22x?3x?9lim(x?9)x?332
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例6 求2x2?x?3“?型” xlim． ??x2?2x?2?13(2?1?3解xlim2x2?x?32??x?x2xlim??xx2)??x2?2x?2xlim??1?22?22?2．
x?xlim(1??x2??xx2)7 求x3例?x?5xlim??3x2．
?2解
3因为3x2x?2x3xlim?2??x3??x?5xlim??1?1?5?0， x2x3所以x3?x?5??． xlim??3x2?2一般地，当x??时，有理分式(a0?0,b0?0)的极限有以下结果： ?0axlim0xn?a1xn?1???an?,n?m,?a??b0xm?b1xm?1＝?0,n?m, （1.4.3） ???bm?b?0??,n?m.例8 求下列极限：
（1）xlim4x2?5x?3??2x3；
?83x4（2）lim?2x2?7；
x??5x2?3（3）(x?xlim3)(2x2?1)??2?7x3．
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极限的性质和运算法则
