第9讲 函数模型及其应用
1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
[解析] 设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋2lg
1.3lg 2－lg 1.30.30－0.112xx12%)>200，即1.12>?x>＝≈＝3.8，所以该公司全年
1.3lg 1.12lg 1.120.05投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．
[答案] 2019
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x y 0.50 －0.99 0.99 －0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是________． ①y＝2x；②y＝x－1； ③y＝2x－2；④y＝log2x.
[解析] 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除①；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除②、③；将各数据代入函数y＝log2x，都能近似相等可知满足题意．
[答案] ④
3．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值为________．
[解析] 由题意可知，7月份的销售额为500(1＋x%)，8月份的销售额为500(1＋x%)，因为一月至十月份销售总额至少达7 000万元，
所以3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)]×2≥7 000，化简得x＋300x－6 400≥0， 解得x≥20(舍去x≤－320)，故x的最小值为20. [答案] 20
4．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为________．
2
2
2
2
[解析] 设按出厂价y元购买x套(x≤50)应付a元， 则a＝xy，又a＝(y－30)(x＋11)， 又x＋11＞50，即x＞39，
所以39＜x≤50，所以xy＝(y－30)(x＋11)， 30*
所以x＝y－30，又x、y∈N且39＜x≤50，
11所以x＝44，y＝150， 所以a＝44×150＝6 600. [答案] 6 600
5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
1k[解析] 当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e2，所以k＝2ln 2， 所以y＝e
2tln 2
kt，所以当t＝5时，
y＝e10 ln 2＝210＝1 024.
[答案] 2ln 2 1 024
6．某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．
[解析] 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，
2
?21?所以可得到利润y＝4.1x－0.1x＋2(16－x)＝－0.1x＋2.1x＋32＝－0.1?x－?＋
2??
2
2
2
21
0.1×＝32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
4
[答案] 43
7．2014年我国人口总数约为14 亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25 %，则________年我国人口首次将超过20 亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)
[解析] 由已知条件：14(1＋1.25%)
x－2 014
2
>20，
10lg71－lg 7
x－2 014>＝≈28.7，
814lg 3－3lg 2－1lg80则x>2 042.7，即x＝2 043. [答案] 2 043
8．(2018·镇江模拟)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于
原来的0.1%，则至少要抽________次(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
[解析] 抽n次后容器剩下的空气为(40%)， 由题意知，(40%)<0.1%，即0.4<0.001， 所以nlg 0.4<－3，
33
所以n>＝≈7.54，
1－2lg 21－2×0.301 0所以n的最小值为8. [答案] 8
9.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外
周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为________．
1
[解析] 根据题意知，93＝(AD＋BC)h，其中
2
nnnx3AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，
2
2
1318x所以93＝(2BC＋x)x，得BC＝－，
22x23
?h＝?2x≥3，由?得2≤x<6.
18x??BC＝x－2>0，
183x由y＝BC＋2x＝＋≤10.5，得3≤x≤4.
x2因为[3，4]?[2，6)，所以腰长x的范围是[3，4]． [答案] [3，4]
10.(2018·连云港模拟)如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，tmin后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae的水就是y2＝a－ae
－nt－nt，那么桶2中
.假设过5 min后，桶1和桶2的水量相等，则再过mmin
后桶1中的水只有升，则m＝________.
8
aa?1?[解析] 由题意，得ae＝a－ae?e＝??5 .再经过mmin后，桶1中的水只有升，8?2?
－5n－5n－n1
则有ae
－n(5＋m)
＝，即e
8
a－n(5＋m)
m＋5?1??1?＝2，亦即??5＝??，所以＝3，解得m＝10. 5?2??2?
－3
5＋m3
高考数学一轮复习第二章基本初等函数导数的应用第9讲函数模型及其应用分层演练直击高考文
