2019年北约自主招生数学试题
【一】选择题
1.以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少
A.2B.3C.5D.6
2.在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有多少种停放方法？ A.720B.20C.518400D.14400 2232233.x=2y+5,y=2x+5，x≠y,那么x?2xy+y的值为 A.10B.12C.14D.16
4.数列?an?满足a1?1，前n项和为Sn,Sn?1?4an?2，那么a2013为 A.3019?2
2018
B.3019?2
2018
C.3018?2
2018
D.无法确定
5.如图，?ABC中，AD为BC边上中线，DM,DN分别?ADB,?ADC的角平分线，试那么BM?CN与MN的大小关系是
A.BM+CN>MNB.MN?CN?MNC.BM+CN?MND.无法确定 6.模长为1的复数A、B、C，满足A?B?C?0，那么A.?AB?BC?CA的模长为.
A?B?C1B.1C.2D.无法确定 2?a2013?0，且
【二】填空题
7.a1、a2、a3、、a2013?R，满足a1?a2?a3?a1?2a2?a2?2a3?a3?2a4?a1?a2?a3??a2013?0.
6?a2012?2a2013?a2013?2a1，求证：
8.对任意的?，求32cos??cos6??6cos4??15cos2?的值
9.最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数 10.有mn个实数，排列成m?n阶数阵，记作aij??mxn，使得数阵中的每一行从左到右基本
上递增的，即对任意的i?1、2、3、、m，当j1?j2时，都有aij1?aij2.现将aij??mxn的
每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m?n阶数阵，记作
?a??ijmxn?，即对任意的j?1、2、3、、n，当i1?i2时，都有ai?1j?ai?2j.试判断aij??mxn中
每一行的n个数的大小关系，并说明理由.
2018年北约自主招生数学试题解答
1.【简解】f(x)?(x?2)[(1?x)?2]式满足条件的一个多项式，故次数最小的多项式次数不超过5.假设g(x)=ax?bx?cx?dx?e也是满足条件的一个，那个地方a,b,c,d,e为不全为零的有理数，那么g(2)=4a+2c+e+(2b+d)2=0, g1?32??(7a?b?c?d?e)?(2a?3b?2c?d)32?(6a?3b?c)34?0
43223??4a+2c+e=2b+d=7a+b-c-d-e=2a+3b+2c+d=6a+3b+c=0，依照行列式知，此方程组解为
a=b=c=d=e=0。应选C
32.【简解】C6?6?5?4?3!?14400，选D
??x??1?2??x??1?23.【简解】两式子作差，得到x+y=-2，从而?或?，xy=-1；原式
??y??1?2??y??1?2?x(2y?5)?2(2y?5)(2x?5)?y(2x?5)??15(x?y)?4xy?50=-16，选D
4.【简解】a1?1,S2?a1?a2?4a1?2?a2?5；Sn?1?4an?2，Sn?2?4an?1?2，作
n?1差有an?2?4an?1?4an?an?2?2an?1?2(an?1?2an)，an?1?2an?3?2，两边同除
以
2n?1，有
an?1an3?n?2n?12，
4an2n=
a13?(n?1)24=
3n?14，
a2013?(3?2013?1)?22011?3019?22012.选A
5.【简解】如图，延长ND到E，使得DE?DN，连接BE、ME.易知?BDE??CDN，
,?AD的C角平分线，因此因此CN?BE.又因为DM,DN分别为?ADB.因此?MDN?90?，知MD为线段EN的垂直平分线，因此MN?MEBM?CN?BM?B?EM?E.选MA
6.【解析】
AB?BC?CA?A?B?CAB?BC?CAAB?BC?CA ?A?B?CA?B?C?
(ABCC?ABCC?BCAA?BCAA?CABB?CABB)?(AABB?BBCC?CCAA)(AB?AB?BC?BC?CA?CA)?(AA?BB?CC)?AB?AB?BC?BC?CA?CA?3?1.选B
AB?AB?BC?BC?CA?CA?37.【解析】设a1?2a2?a2?2a3?a3?2a4??a2013?2a1?m，而
2013k?1(a1?2a2)?(a2?2a3)?(a3?2a4)?...?(a2013?2a1)=-?ak=0
那么a1?2a2、a2?2a3、a3?2a4、、a2013?2a1中每个数或为m，或为?m. 设其中有k个m，(2013?k)个?m，那么：
(a1?2a2)?(a2?2a3)?(a3?2a4)??(a2013?2a1)?k?m?(2013?k)?(?m)?(2k?2013)m=0
而2k?2013为奇数，不可能为0，因此m?0.因此知：
a1?2a2,a2?2a3,a3?2a4,,a2012?2a2013,a2013?2a1.
?a2013?0.命题得证.
2013?a1，即得a1?0.同理可知：a2?a3?从而知：a1?28.【简解】首先推得cos3β=4cosβ-3cosβ,从而 原式=32×(3
1?cos2?3)-(4cos32?-3cos2?)-6(cos22?-1)-15cos2?=10 29.【解析】能够证明，所取的数最多只能取到两类.否那么，假设三类数都有取到，设所取3k型数为3a，3k?1型数为3b?1，3k?2型数为3c?2，那么
，.因此三类数中，最多能取到两类. 3a?(b3?1?)c(?3?2a)?b3(?c不可能为素数?1、2)型其次，我们容易明白，每类数最多只能取两个〔否那么，假设某一类3k?r(r?0、的数至少取到三个，有(3a?r)?(3b?r)?(3c?r)?3(a?b?c?r)不可能为素数〕. 结合上述两条，我们明白最多只能取2?2?4个数，才有可能满足题设条件.
另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件.
综上所述，假设要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.
?10.【解析】数阵aij??mxn中每一行的n个数从左到右基本上递增的，理由如下： 中每一行的n个数从左到右基本上递增的，只需证明，关于任
?显然，要证数阵aij??mxn??ai?(j?1)，其中j?1、2、3、、n?1. 意i?1、2、3、、m，都有aij
??假设存在一组a?pq?a(p1q.)?(q?1)?aik(q?1)，其中k?1、令ak2、、3、m，
.
那
么
当
?i1,i2,i3,,im???1,2,3,,m?t?p时，都有
?、2、3、、m)中，aitq?ait(q??1at?q?)?a?至少有p个数小于pq?(?a1pq.也即在aiq(i?1?也即a?至少排在第p?1行，与a?a?pq，pq在数阵?aij?mxn的第q列中，pq排在第p行矛盾. ??ai?(j?1)，即数阵aij?因此关于任意i?1、2、3、、m，都有aij左到右基本上递增的.
??mxn中每一行的n个数从
2019年北约自主招生数学试题
