法拉第电磁感应定律
10-1如图10-1所示，一半径a＝，电阻R＝×10-3Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与回路面
积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为 B(t)?(3t2?8t?5)?10?4T
求：（1）t＝2s时回路的感应电动势和感应电流；
（2）最初2s内通过回路截面的电量。
图10-1 ?B ?nπ/3 a ??解：（1）??B?S?BScos?
?i??d?dB???Scos????a2cos()?(6t?8)?10?4??1.6?(6t?8)?10?6V dtdt3??3.2?10?5?5?2??2?10A t?2s，?i??3.2?10V，I???3R1.0?10负号表示?i方向与确定n的回路方向相反
v1128?10?4?3.14?0.12?4.4?10?2C （2）qi?(?1??2)?[B(0)?B(2)]?S?cos???3RR1?10?210-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I，小的回路在大
的回路上面距离x处，x>>R，即I在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若
dx?v等速率dt变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x之间的关系；（2）当x＝NR（N为一正数），求小回路内的感应电动势大小；（3）若v＞0，确定小回路中感应电流方向。 解：（1）大回路电流I在轴线上x处的磁感应强度大小
r x I R 图10-2
B??0IR22(R2?x2)32，方向竖直向上。
x??R时，B??0IR22x3vv?0IR2?r22，??B?S?BS?B??r? 32x2（2）?i??3?0?Ird?3dx??0IR2?r2x?4v ，x?NR时，?i?dt2dt2R2N4（3）由楞次定律可知，小线圈中感应电流方向与I相同。 动生电动势
10-3 一半径为R的半圆形导线置于磁感应强度为B的均匀磁场中，该导线以
??B?vO R 速度v沿水平方向向右平动，如图10-3所示，分别采用（1）法拉第电磁感应定律和（2）动生电动势公式求半圆导线中的电动势大小，哪一端电势高
解：（1）假想半圆导线在宽为2R的U型导轨上滑动，设顺时针方向为回路方向，
在x处
d?m1dx2??2RB??2RBv ?m?(2Rx??R)B，????2dtdt由于静止U型导轨上电动势为零，所以半圈导线上电动势为
???2RBv 负号表示电动势方向为逆时针，即上端电势高。
vvv（2）任取线元dl，d??(v?B)?dl?vBsin90??cos?dl?vBcos??Rd?
?2???d??vBR?cos?d??2vRB，由(v?B)指向知，上端电势高
?vv?210-4长为L的铜棒NM，以角速度 绕支点O在水平面上转动，支点距棒的一端点N的距离为r，设均
匀磁场B垂直向下，如图10-4所示。求棒两端的电势差。
?v
解：在棒上距O点l处取线元dl，方向N?M，则
vvvd??(v?B)?dl?vBdl???Bldl
N r O ?BM L-r 图10-4 1??NM??NMd????B?ldl???BL(L?2r)
2?rL?r负号表示电动势方向为M?N，UNM???NM1??BL(L?2R) 210-5两平行长直导线载有等量反向电流I，金属棒CD与两导线共面且垂直，
相对位置如图10-5所示。CD棒以速度v平行于导线电流运动时，求CD棒中的动生电动势，哪端的电势高
I
I a C a ??vb D
v解：如图建立坐标系，在x处（棒上）取线元dx，方向C?D，该处
B??0I?0I?，方向垂直纸面向上。 2?x2?(x?a)图10-5
vvv?d?i?(v?B)?dx?vBdx
?0Iv2a?b1?0Iv2a?b1a?b?0Iv2a?b?d?(?)dx?[ln?ln]?ln ?CD??i?2?2axx?a2?2aa2?2(a?b)Q?CD?0，?C端电势高。
10-6如图10-6所示，质量为m，长为l，电阻为R的金属棒AB放置在一个倾斜的光滑U形框架上，并由
静止下滑，磁场B垂直向上。求：（1）U形框架为绝缘时，AB棒内的动生电动势与时间的函数关系；（2）U形框架为导体时（不计电阻），AB棒下滑速度随时间的变化关系，最大速度为多少 解：（1）?i?(v?B)?BA?vBsin??l?vBlcos?
?uvvvuuQ在斜面上，mgsin??ma，?a?gsin?
A ?B v?at?gtsin?，??i?gtsin??Blcos??1Bgltsin2? 2D θ 图10-6
B C
（2）此时，在BADC回路中产生感应电流，所以AB还受安培力作用，大小为 Fi?BlI?Bl?i?Blvcos?，方向水平向右。
RR22B2l2cos2?dvdvv?m 沿斜面 ，mgsin??Ficos??ma?m，即 mgsin??Rdtdt解得 vmax?感生电动势
10-7一长直导线中通有交变电流I＝πt A，在与其相距d＝处放有一矩形线圈，共100匝，线圈长l＝，宽a
＝，如图10-7所示。求t时刻：（1）线圈中的磁通链数是多少（2）线圈中的感生电动势是多少 解：（1）取矩形线圈的回路方向为顺时针方向，在距长直电流为x处取宽为dx的小面元
mgRsin?(1?eB2l2cos2??B2l2cos2?tmR)，vmax?mgRsin?。
B2l2cos2?vv?Id??B?dS?N0?ldx，
2?xI
?0NIld?adx?0NIld?a????ln ?2?dx2?d7?2?10?7?100?4?10?2?ln?sin100?t?1.35?10?6sin100?tWb
5（2）?i??d a l d??4.24?10?4cos100?tV dt图10-7
10-8一半径为R、单位长度上匝数为n的通电长直螺线管，其横截面上的磁场如图10-8所示。若电流的变
化率为dI/dt（＞0），求：（1）管内外的感生电场；（2）当电子分别置于a点、O点和b点处时，电子所获得的瞬时加速度大小和方向各为何
大学物理(吴百诗)习题答案10电磁感应
