1.3.1函数单调性与最值--最值（第一课时）
【教学过程】 一、温故夯基
1、函数单调性定义：函数y＝f(x)的增减定义为：在定义域内的某个区间上，任意x1
2、定义法证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： （1）任取x1，x2∈D，且x1 （3）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； （4）下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 3、二次函数的一般式、顶点式、顶点坐标和对称轴分别是什么？ 二、新知 问题提出： 函数图象上升与下降反映了函数的单调性，如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？函数的最值。 知识探究（一） 观察下列两个函数的图象： 1 y M y M x o 图2 x0 x o x0 图1 思考1:这两个函数图象各有一个最高点，函数图象上最高点的纵坐标是什么？ 思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？ 函数y=f(x)最大值定义 一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I,都有f(x)?M;(2)存在x?I,使得f(x)?M,00那么称M是函数y?f(x)的最大值，记作f(x)max?M 函数最大值的几何意义：函数图象最高点的纵坐标。讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点。 知识探究（二） 观察下列两个函数的图象： 2 y y m xo 图2 x m o x0 图1 x 思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标是什么？ 思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数f(x)的最小值？ 函数y=f(x)最小值定义： 一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I,都有f(x)?M;(2)存在x?I,使得f(x)?M,00那么称M是函数y?f(x)的最小值，记作f(x)?Mmin 函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点。 三、讲练互动 （1）图像法求函数最值 例1、右图为函数y?f(x)的图象,指出它的最大值、最小值。 3 y321-1.5-4-3-2-1O1-1-2234567x解:观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是?3,3?,最低的点是??1.5,?2?.所以函数y?f?x?当x?3时取得最大值,即y当x??1.5时取得最小值,即y??2.minmax ?3; （2）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 （先作出函数图象，寻找闭区间上的图象的最高点或最低点．） 例2、已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值： (1)x∈R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]． 【思路点拨】 作出y＝3x2－12x＋5(x∈R)的图象再分别截取x∈[0,3]，x∈[－1,1]上的图象，看图象的最高点，最低点的纵坐标． 【解】 f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7. (1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．即函数f(x)的最小值为－7，无最大值． (2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，函数f(x)在x＝0时取得最大值，最大值为5，在x＝2时，取得最小值，最小值为－7. 4 (3)由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递减，f(x)max＝f(－1)＝20，f(x)min＝f(1)＝－4. 要根据定义域截取图象． 练习1、请大家思考，下列函数是否有最大值与最小值？ 22(1)f(x)?x?1;(2)f(x)?x;(3)f(x)?x?2x?1,x?[0,3) y2o-1-23x 归纳总结： 1、一个函数不一定有最值. 2、有的函数可能只有一个最大(或小)值. 3、如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的。 练习2： 书上例3 （3）利用函数单调性的定义求函数的最大（小）值 例3、已知函数 f(x)? 求函数2,x?[2,6],x?1f(x)的最大值和最 小值。（提示：单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；） 解: 设 x1 , x2∈ [2,6]，且 x1 f(x1)?f(x2)? 2(x2?x1)2[(x2?1)?(x1?1)]22???x1?1x2?1(x1?1)(x2?1) (x1?1)(x2?1)5
高中数学_1.3.1-3函数的最值教案
