第十章 计数原理 10.3 二项式定理试题 理 北师大版
1．二项式定理
二项式定理 二项展开式的通项公式 二项式系数
2.二项式系数的性质
(1)0≤r≤n时，Cn与Cn的关系是Cn＝Cn. (2)二项式系数先增后减中间项最大
rn－rrn－rn0n1n－11(a＋b)＝Cna＋Cnan－rrnb＋…＋Crb＋…＋Cnnanb(n∈N＋) n－rrTr＋1＝Crb，它表示第r＋1项 na二项展开式中各项的系数Cn(r＝0,1,2，…，n) rnn＋1n＋3n当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2；当n为奇数时，第项和222
项的二项式系数最大，最大值为Cn2和Cn2. (3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2， Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2【知识拓展】
二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn，Cn. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Cnarn－rr0
1
0
2
4
1
3
50
1
2
n?1n?1nnn－1
.
n－1nb是二项展开式的第r项．( × )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a＋b)的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ ) (4)在(1－x)的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( × )
(5)若(3x－1)＝a7x＋a6x＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( × )
7
7
6
9
n
1．(教材改编)(x－y)的二项展开式中，第m项的系数是( ) A．Cn C．Cn 答案 D
解析 (x－y)展开式中第m项的系数为 Cn(－1)
m－1
m－1
nm－1mnm＋1
B．Cn D．(－1)
m－1m－1
nC
.
6
4
2．(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)的展开式中含x的项为( ) A．－15x C．－20ix 答案 A
解析 由题意可知，含x的项为C6xi＝－15x.故选A.
4
242
4
44
B．15x D．20ix
4
4
?3?n2
3．(2016·南昌模拟)已知n＝e1dx，那么?x－?展开式中含x项的系数为( )
?1?x?
6xA．130 B．135 C．121 D．139 答案 B
?3?6re?6，则?x－?中，由二项式定理得通项公式为Tr＋1＝C6解析 根据题意，n＝e1dx?lnx|1?1?x?
66x(－3)xr6－2r，令6－2r＝2，得r＝2，所以系数为C6×9＝135.
2
x1n4．在(－)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．
23
x答案 7
解析 由题意知＋1＝5，解得n＝8，
2
nx181rrx8－r(－)的展开式的通项Tr＋1＝C8()(－) 2323
xx＝(－1)2rr－8Cxr838?r44r，令8－＝0，得r＝6，
3
66－86
8
则展开式中的常数项为(－1)2C＝7.
题型一 二项展开式
命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例1 (1)(2016·全国乙卷)(2x＋x)的展开式中，x的系数是______________．(用数字填写答案)
(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数为( ) A．10 C．30
答案 (1)10 (2)C
?C(2x).(x)?C2x,r∈{0,1,2,3,4,5}，解析 (1)(2x＋x)展开式的通项公式，T r?1r55?rrr55?r53
2552
B．20 D．60
r25
5??C2x?10x,令5－＝3，解得r＝4，得∴x的系数是10. T5 2
455?433
r5?42(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解． (x＋x＋y)＝[(x＋x)＋y]， 含y的项为T3＝C5(x＋x)·y.
其中(x＋x)中含x的项为C3x·x＝C3x. 所以xy的系数为C5C3＝30.故选C. 方法二 利用组合知识求解．
(x＋x＋y)为5个x＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x，一个取x即可，所以xy的系数为C5C3＝30.故选C.
命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数
例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________. (2)(2016·山东)若?ax＋答案 (1)3 (2)－2
解析 (1)设(a＋x)(1＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)∵Tr＋1＝Caxr54
2
3
4
5
4
22
2
5
2
2
52
52
21
2
3
5
14
15
2
2
2
3
2
2
5
2
5
??
2
1?5
5
?的展开式中x的系数为－80，则实数a＝________. x?
??25－r510?r1r5－rr()＝aC5x2， x532
∴10－r＝5，解得r＝2，∴aC5＝－80，解得a＝－2.
2
思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母
的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．
(1)(x－y)(x＋y)的展开式中xy的系数为________．(用数字填写答案)
(2)(x＋a)的展开式中，x的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案) 1
答案 (1)－20 (2)
2
解析 (1)xy＝x·(xy)，其系数为C8，
27
7
7
10
7
8
27
x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C68，
∴xy的系数为C8－C8＝8－28＝－20. (2)设通项为Tr＋1＝C10x7
27
7
6
r10－rra，令10－r＝7，
3
∴r＝3，∴x的系数为C10a＝15， 113
∴a＝，∴a＝. 82
题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3 在(2x－3y)的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
解 设(2x－3y)＝a0x＋a1xy＋a2xy＋…＋a10y，(*)
各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数的和为C10＋C10＋…＋C10＝2. (2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)＝(－1)＝1. (3)奇数项的二项式系数和为C10＋C10＋…＋C10＝2， 偶数项的二项式系数和为C10＋C10＋…＋C10＝2. (4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)， 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝5，② ①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋5， 1＋5∴奇数项系数和为；
2
10
10
101
3
9
9
0
2
10
9
10
10
0
1
10
10
10
10
9
82
10
10
3
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－5， 1－5
∴偶数项系数和为.
2
1－5
(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
21＋5
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
2
思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)，(ax＋
n2
10
10
10
10
bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对
形如(ax＋by) (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝
2
nnf1＋f－1
2
，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝
f1－f－1
2
.
2m (1)(2017·北京海淀区月考)设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最
大值为a，(x＋y)
2m＋1
展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8 答案 B
解析 由题意得a＝C2m，b＝C2m＋1，
13·2m！7·2m＋1！mm＋1
∴13C2m＝7C2m＋1，∴＝，
m！·m！m！·m＋1！∴
72m＋1
＝13，解得m＝6，经检验符合题意，故选B.
m＋1
2 016
mm＋1
(2)若(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2 016x22 016
，则＋2＋…＋2 016的结果是多少？
222
a1a2a2 016
解 当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1. 1a1a2a2 016
当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋2＋…＋2 016，
2222∴0＝1＋＋2＋…＋2 016. 222即＋2＋…＋2 016＝－1. 222题型三 二项式定理的应用 例4 (1)设a∈Z且0≤a＜13，若51A．0 B．1 C．11 D．12
(2)1.02的近似值是________．(精确到小数点后三位)
8
2 012
a1a2a2 016
a1a2a2 016
＋a能被13整除，则a等于( )
2018版高考数学大一轮复习第十章计数原理10.3二项式定理试题理北师大版
