文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
全国【高中】数学竞赛专题-三角函数
2020-12-12
【关键字】思路、方法、条件、问题、矛盾、快速、保持、关键、基础、需求、关系、分析、逐步、满足、方向、中心、外心、内心 一、基础知识
定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=
L,其中r是圆的半径。 rxy,余弦函数cosα=,
rr定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取
一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=正切函数tanα=
rxry，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=.
yyxx111定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；
cot?csc?sec?sin?cos?商数关系：tanα=； ,cot??cos?sin?乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；
平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;
（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα;
（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα;
（Ⅳ）sin?????????????=cosα, cos????=sinα, tan????=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。 222????????定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。
单调区间：在区间?2k???2,2k????2??上为增函数，在区间?2k?????3?,2k????上为减函数， 22?最小正周期：2?. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x=2kx+对称性：直线x=k?+
??时，y取最大值1，当且仅当x=3k?-时, y取最小值-1，值域为[-1，1]。 22?均为其对称轴，点（k?, 0）均为其对称中心。这里k∈Z. 2定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。
单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。
有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。
对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点?k??????,0?均为其对称中心。这里k∈Z. 2?定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x?kπ+
???)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 222?最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
21文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α?β)=cosαcosβ?sinαsinβ,
sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ;
(tan??tan?).
(1?tan?tan?)2222 两角和与差的变式：sin??sin??cos??cos??sin(???)sin(???)
tan??tan??tan??tan?tan?tan?三角和的正切公式：tan(?????)?
1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?tan(α?β)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
?????????????????????cos??, sinα-sinβ=2sin??cos??, 2222????????????????????????????cosα+cosβ=2cos?cos, cosα-cosβ=-2sin?????sin??,
?2??2??2??2?11sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)], cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
2211cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
22sinα+sinβ=2sin?定理8 二倍角公式：sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=
三倍角公式及变式：sin3??3sin??4sin3?，cos3??4cos3??3cos?
2tan?.
(1?tan2?)11sin3?，cos(60??)cos?cos(60??)?cos3? 44(1?cos?)(1?cos?)??定理9 半角公式: sin=?, cos=?,
2222sin?(1?cos?)?(1?cos?)?. tan=?=
(1?cos?)sin?2(1?cos?) sin(60??)sin?sin(60??)??????????2tan??1?tan2??2tan???2?, cos???2?,tan???2?.
定理10 万能公式: sin???????????1?tan2??1?tan2??1?tan2???2??2??2?定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2?0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，
ba则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=(a2?b2)sin(α+β).
a2?b2a2?b2abc定理12 正弦定理：在任意△ABC中有???2R，
sinAsinBsinC其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 射影定理：在任意△ABC中有a?bcosC?ccosB，b?acosC?ccosA，c?acosB?bcosA
22定理15 欧拉定理：在任意△ABC中，OI?R?2Rr，其中O,I分别为△ABC的外心和内心。 定理16 面积公式：在任意△ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长p?则S?a?b?c 211abcaha?absinC??rp?2R2sinAsinBsinC?rR(sinA?sinB?sinC) 224RABCcoscos; 222定理17 与△ABC三个内角有关的公式： （1）sinA?sinB?sinC?4cos2文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
（2）cosA?cosB?cosC?1?4sinABCsinsin; 222（3）tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC;
ABBCCA（4）tantan?tantan?tantan?1;
222222（5）cotAcotB?cotBcotC?cotCcotA?1; （6）sin2A?sin2B?sin2C?4sinAsinBsinC.
变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的
定理18 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+?)的图象（相位
1纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?, ?>0)(|A|
?，得到y=sin?x(??0)的图象（周期变换）；横坐标不变，
?个单位得到y=Asin?x的图象。 ???????定义4 函数y=sinx?的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])， x??,??????22???叫作振幅)的图象向右平移
函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx??x??????????,???的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). 22???函数y=cotx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理19 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kx?arccosa, k∈Z}.
如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。
恒等式：arcsina+arccosa=
定理20 若干有用的不等式：
（1）若x??0,??；arctana+arccota=. 22?，则sinx 2?sinxtanx?（2）函数y?在(0,?)上为减函数；函数y?在(0,)上为增函数。 xx2（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z∈R， 有x?y?z?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC 等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC. 二、方法与例题 1．结合图象解题。 例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若x??222??????????,??，则-1 ????)≤2<，所以0 ?-cosx)=sin(cosx). 23文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)
全国【高中】数学竞赛专题-三角函数
