第练研创新——以函数为背景的创新题型
[
题
型
分
析
·
高
考
展
望]在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现.主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题.这种题难度一般为中档，多出现在选择题、填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高.通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患.
体验高考
.(·湖北)已知符号函数＝()是上的增函数，()＝()－()(>)，则() [()]＝ [()]＝[()] [()]＝－ [()]＝－[()] 答案
解析因为()是上的增函数，令()＝，
所以()＝(－)，因为＞，所以()是在上的减函数.由符号函数＝知， [()]＝所以[()]＝－ . .(·
山
东)若函数＝()的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称＝()具有性质.下列函数中具有性质的是() ＝＝ ＝＝ 答案
解析对函数＝求导，得′＝，当＝时，该点处切线的斜率＝，当＝π时，该点处切线的斜率＝－，∴·＝－，∴⊥；对函数＝求导，得′＝恒大于，斜率之积不可能为－；对函数＝求导，得′＝恒大于，斜率之积不可能为－；对函数＝求导，得′＝恒大于等于，斜率之积不可能为－.故选.
.(·四川)已知函数()＝，()＝＋(其中∈).对于不相等的实数，，设＝，＝， 现有如下命题：
①对于任意不相等的实数，，都有＞； ②对于任意的及任意不相等的实数，，都有＞； ③对于任意的，存在不相等的实数，，使得＝； ④对于任意的，存在不相等的实数，，使得＝－. 其中的真命题有(写出所有真命题的序号). 答案①④
解析设(，())，(，())，(，())，(，()).
对于①，从＝的图象可看出，＝＞恒成立，故①正确； 对于②，直线的斜率可为负，即＜，故②不正确； 对于③，由＝得()－()＝()－()， 即()－()＝()－()， 令()＝()－()＝－－， 则′()＝·－－.
由′()＝，得·＝＋，(*)结合图象知，当很小时，方程(*)无解，∴函数()不一定有极值点，就不一定存在，使()－()＝()－()，不一定存在，使得＝，故③不正确； 对于④，由＝－，得()－()＝()－()， 即()＋()＝()＋()， 令()＝()＋()＝＋＋， 则′()＝＋＋. 由′()＝，得＝－－，
高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题3 函数与导数 第11练 Word版含答案
