高等数学B（上）试题1答案
一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.
（ √ ）3. 若f(x)在某点处连续，则f(x)在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.
（ × ）6. y?f(x)在点x0连续，则y?f(x)在点x0必定可导. （ × ）7. 若x0点为y?f(x)的极值点，则必有f?(x0)?0. （ × ）8. 若f?(x)?g?(x)，则f(x)?g(x).
二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设f(x?1)?x，则f(3)?16. 2．limxsinx??21＝x1。
x?11?2?x??3.lim?xsin?sinx?????x??xx?x?????1?e2.
4. 曲线x?6y?y在(?2,2)点切线的斜率为5．设f?(x0)?A，则limh?02323.
f(x0?2h)?f(x0?3h)＝
h5A.
6. 设f(x)?sinxcos31,(x?0)，当f(0)?x0时，f(x)在x?0点连续.
7. 函数y?x?3x在x??1处有极大值.
8. 设f(x)为可导函数,f?(1)?1，F(x)?f?
三、计算题（每题6分，共42分）
?1?2?f(x)，则F?(1)???x?1.
(n?2)(n?3)(n?4) . 3n???5n(n?2)(n?3)(n?4)解： lim
n???5n31．求极限 lim
?2??3??4??lim?1???1???1?? （3分） n????n??n??n??1 （3分）
x?xcosx2. 求极限 lim.
x?0x?sinxx?xcosx解：lim
x?0x?sinx1?cosx?xsinx （2分） ?limx?01?cosx?lim2sinx?xcosxx?0sinx ?3 3. 求y?(x?1)(x?2)2(x?3)3在(0,??)内的导数.解：lny?ln(x?1)?2ln(x?2)?3ln(x?3)，
y?y?1x?1?2x?2?3x?3， 故y??(x?1)(x?2)2(x?3)3??1?x?1?2x?2?3?x?3??4. 求不定积分?2x?11?x2dx.
解：
?2x?11?x2dx
??1211?x2d(1?x)??1?x2dx ?ln(1?x2)?arctanx?C 5. 求不定积分?xsinx2dx.
解：?xsinx2dx
?12?sinx2d?x2? ??12cosx2?C 6．求不定积分?xsin2xdx. 解： ?xsin2xdx
（2分） （2分）
（2分）
（2分） （2分） （3分）（3分）（3分）（3分）
?11xsin2xd(2x)??xdcos2x （2分） 2?2?1??xcos2x??cos2xdx （2分）
211??xcos2x?sin2x?C （2分）
24??7. 求函数y??sinx?cosx的导数.
解：lny?cosxlnsinx （3分）
y???sinx?cosx?1?cot2x?lnsinx? （3分）
四、解答题（共9分）
某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.
解：设垂直于墙壁的边为x，所以平行于墙壁的边为20?2x，
所以，面积为S?x(20?2x)??2x?20x， （3分）
由S???4x?20?0，知 （3分） 当宽x?5时，长y?20?2x?10， （3分） 面积最大S?5?10?50（平方米）。
五、证明题（共9分）
若在(??,??)上f??(x)?0,f(0)?0.证明：F(x)?增加. 证明：F?(x)?2f(x)在区间(??,0)和(0,??)上单调xxf?(x)?f(x)，令G(x)?xf?(x)?f(x) （2分） 2xG(0)?0?f?(0)?f(0)?0， （2分）
在区间(??,0)上，G?(x)?xf??(x)?0， （2分） 所以G(x)?G(0)?0，单调增加。 （2分） 在区间(0,??)上，G?(x)?xf??(x)?0，
所以0?G(0)?G(x)，单调增加。 （1分）
高数B(上)试题及答案
