高等数学B(上)试题1答案
一、判断题(每题2分,共16分)(在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”) ( × )1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. ( × )2. 闭区间上的间断函数必无界.
( √ )3. 若f(x)在某点处连续,则f(x)在该点处必有极限. ( × )4. 单调函数的导函数也是单调函数.
( √ )5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.
( × )6. y?f(x)在点x0连续,则y?f(x)在点x0必定可导. ( × )7. 若x0点为y?f(x)的极值点,则必有f?(x0)?0. ( × )8. 若f?(x)?g?(x),则f(x)?g(x).
二、填空题(每题3分,共24分) 1. 设f(x?1)?x,则f(3)?16. 2.limxsinx??21=x1。
x?11?2?x??3.lim?xsin?sinx?????x??xx?x?????1?e2.
4. 曲线x?6y?y在(?2,2)点切线的斜率为5.设f?(x0)?A,则limh?02323.
f(x0?2h)?f(x0?3h)=
h5A.
6. 设f(x)?sinxcos31,(x?0),当f(0)?x0时,f(x)在x?0点连续.
7. 函数y?x?3x在x??1处有极大值.
8. 设f(x)为可导函数,f?(1)?1,F(x)?f?
三、计算题(每题6分,共42分)
?1?2?f(x),则F?(1)???x?1.
(n?2)(n?3)(n?4) . 3n???5n(n?2)(n?3)(n?4)解: lim
n???5n31.求极限 lim
?2??3??4??lim?1???1???1?? (3分) n????n??n??n??1 (3分)
x?xcosx2. 求极限 lim.
x?0x?sinxx?xcosx解:lim
x?0x?sinx1?cosx?xsinx (2分) ?limx?01?cosx?lim2sinx?xcosxx?0sinx ?3 3. 求y?(x?1)(x?2)2(x?3)3在(0,??)内的导数.解:lny?ln(x?1)?2ln(x?2)?3ln(x?3),
y?y?1x?1?2x?2?3x?3, 故y??(x?1)(x?2)2(x?3)3??1?x?1?2x?2?3?x?3??4. 求不定积分?2x?11?x2dx.
解:
?2x?11?x2dx
??1211?x2d(1?x)??1?x2dx ?ln(1?x2)?arctanx?C 5. 求不定积分?xsinx2dx.
解:?xsinx2dx
?12?sinx2d?x2? ??12cosx2?C 6.求不定积分?xsin2xdx. 解: ?xsin2xdx
(2分) (2分)
(2分)
(2分) (2分) (3分)(3分)(3分)(3分)
?11xsin2xd(2x)??xdcos2x (2分) 2?2?1??xcos2x??cos2xdx (2分)
211??xcos2x?sin2x?C (2分)
24??7. 求函数y??sinx?cosx的导数.
解:lny?cosxlnsinx (3分)
y???sinx?cosx?1?cot2x?lnsinx? (3分)
四、解答题(共9分)
某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.
解:设垂直于墙壁的边为x,所以平行于墙壁的边为20?2x,
所以,面积为S?x(20?2x)??2x?20x, (3分)
由S???4x?20?0,知 (3分) 当宽x?5时,长y?20?2x?10, (3分) 面积最大S?5?10?50(平方米)。
五、证明题(共9分)
若在(??,??)上f??(x)?0,f(0)?0.证明:F(x)?增加. 证明:F?(x)?2f(x)在区间(??,0)和(0,??)上单调xxf?(x)?f(x),令G(x)?xf?(x)?f(x) (2分) 2xG(0)?0?f?(0)?f(0)?0, (2分)
在区间(??,0)上,G?(x)?xf??(x)?0, (2分) 所以G(x)?G(0)?0,单调增加。 (2分) 在区间(0,??)上,G?(x)?xf??(x)?0,
所以0?G(0)?G(x),单调增加。 (1分)