2012中考数学压轴题及答案40例（5）
16.如图，已知与x轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C?． （1）求抛物线l2的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称，则当点
P运动到何处时，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30?的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
?4)． 解：（1）由题意知点C?的坐标为(3，设l2的函数关系式为y?a(x?3)2?4．
，0)在抛物线y?a(x?3)2?4上， 又?点A(1?(1?3)2a?4?0，解得a?1．
?抛物线l2的函数关系式为y?(x?3)2?4（或y?x2?6x?5）．
（2）?P与P?始终关于x轴对称， ?PP?与y轴平行．
设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m2?6m?5，
?OD?4，?2m2?6m?5?4，即m2?6m?5??2．
当m2?6m?5?2时，解得m?3?6． 当m2?6m?5??2时，解得m?3?2．
1
?当点P运动到(3?6，2)或(3?6，2)或(3?2，?2)或(3?2，?2)时，
∥OD，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形． P?P
（3）满足条件的点M不存在．理由如下：若存在满足条件的点M在l2上，则
?AMB?90?，??BAM?30?（或?ABM?30?）， ?BM?11AB??4?2． 22过点M作ME?AB于点E，可得?BME??BAM?30?．
?EB?11BM??2?1，EM?3，OE?4． 22?点M的坐标为(4，?3)．
但是，当x?4时，y?42?6?4?5?16?24?5??3??3．
?不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．
17.如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，
若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
2
解：（1）将A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x 2＋bx＋c得
?－1＋b＋c＝0 ············································································· 2分 ?－9－3b＋c＝0?解得??b＝－2 ························································································ 3分 c＝3?∴该抛物线的解析式为y＝－x 2－2x＋3． ············································ 4分 （2）存在．·································································································· 5分
该抛物线的对称轴为x＝－
－2＝－1
2?(－1)∵抛物线交x轴于A、B两点，∴A、B两点关于抛物线的对称轴x＝－1对
称．
由轴对称的性质可知，直线BC与x＝－1的交点即为所求的Q点，此时
△QAC的周长最小，如图1．
将x＝0代入y＝－x 2－2x＋3，得y＝3． ∴点C的坐标为(0，3)．
3
设直线BC的解析式为y＝kx＋b1， 将B(－3，0)，C(0，3)代入，得
1?－3k＋b1＝0?k＝ 解得? ?b＝3b＝3?1?1∴直线BC的解析式为y＝x＋3． ··············· 6分 联立??x＝－1?x＝－1 解得?
y＝x＋3y＝2??∴点Q的坐标为(－1，2)． ································································· 7分 （3）存在．·································································································· 8分
设P点的坐标为（x，－x 2－2x＋3）（－3＜x＜0），如图2． ∵S△PBC ＝S四边形PBOC －S△BOC ＝S四边形PBOC －当S四边形PBOC有最大值时，S△PBC就最大．
∵S四边形PBOC ＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC ························································· 9分
＝＝
11BE·PE＋(PE＋OC)·OE 2211(x＋3)(－x 2－2x＋3)＋(－x 2－2x＋3＋3)(－x) 2219×3×3＝S四边形PBOC － 2233927＝－(x＋)2＋＋
22283927当x＝－时，S四边形PBOC最大值为＋．
228927927∴S△PBC最大值＝＋－＝． ·············· 10分
228833315当x＝－时，－x 2－2x＋3＝－(－)2－2×(－)＋3＝．
2224315∴点P的坐标为(－，)． ···························································· 11分
244
18.如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋33(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运
动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长
度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋33，得0＝a(－2－1)2＋33．
∴a＝－
3 ·························································································· 1分 3∴该抛物线的解析式为y＝－
3(x－1)2＋33 3即y＝－
322383x ＋x＋． ··························································· 3分 3335
2012中考数学压轴题及答案40例(5)
