2021年中考数学热点专题复习：平行四边形与面积的不解之缘

由天下分享时间：2024/9/13 22:53:09 加入收藏我要投稿点赞

平行四边形作为一类特殊的四边形在平面几何中占据着举足轻重的地位，人们烂熟、并善用其边、角、对角线的各种性质，殊不知平行四边形与面积也有着十分亲密的联系，下面就随笔者去欣赏一番.

一、平行四边形的一条对角线把平行四边形分为两个面积相等的三角形例1 如图1,

ABCD中，过对角线BD上一点P作EF//BC, GH//AB.图中哪两

个平行四边形面积相等?为什么?

简析 ∵由结论知，S?ABD?S?BDC,S?PHD?S?PFD, S?BEP?S?BGP ∴S∴S∴SABD?SPHD?SBEP?SBDC?SPFD?SBGP

AHPE?S?SPFCG

AHPEHPFD?SPFCG?SHPFD

同理可得SABGH?SBCFE.

即图中共有三对面积相等的平行四边形，它们分别为AHPE与PFCG、AEFD与

CDHG、ABGH与BCFE面积相等.

二、平行四边形的两条对角线把平行四边形分为四个面积相等的三角形.

例2 (2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第一试)如图2，平行四边形

ABCD的面积是4,K和L分别是AB和CD的中点.AL与KD交于点N,BL与KC交于

点M.则四边形KNLM的面积是 .

简析如图2，连接KL，易证四边形BCLK和四边形LDAK均为平行四边形，则由结论得SMLK?SMLK?SNKL11SBCLK,SNKL?SLDAK,所以 44111?(SBCLK?SLDAK)?SABCD??4?1?四边形KNLM的面积. 444 三、连接平行四边形边上一点与其对边的两顶点, 把平行四边形分为三个三角形.则两边的两个三角形面积之和等于中间的一个三角形的面积, 均等于平行四边形面积的一半.即如

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图3有:SABE?SDCE?SBCE?1SABCD. 证明非常简单，这里从略. 2

例3 (2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试)如图4,ABCD,AEFG,BIHE都是平行四边形，且E是DC的中点，点D在FG上，点C在HI上.?GDA,?DFE,?EHC,?BCI 的面积依次记为S1,S2,S3,S4，则( ).

A. S1?S2?S3?S4 B. S1?S2?S3?S4

C. S1?S2?S3?S4 D. S1?S2与S3?S4大小关系不确定.

简析由结论知S1?S2?S?ADE,S3?S4?S?BEC.根据等底等高的三角形面积相等可知

S?ADE?S?BEC，故选C.

四、平行四边形内一点与四个顶点连接，把平行四边形分为四个三角形，相对的两个三角形的面积和相等且等于平行四边形面积的一半.即如图5中有:S?ABE?S?DCE?S?ADE?S?BCE?1S2ABCD成立.证明比较简单.这里从略.

例4 如图6,以?ABC的三边为一边，在?ABC的同侧分别作

BCNM,ACGF,ABDE，且点D,M,E共线，点G,N,F共线.求证:

SABDE?SACGF?SBCNM.

证明如图6,连接AM、AN，由结论三可得:S?AEM?S?BDM?S?BMA?1S2ABDE,