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专题五：均值不等式与最值、放缩法
基础梳理
1．常用的基本不等式和重要的不等式：
（1）a?R,a2?0,a?0 当且仅当a?0取“?”号； （2）a,b?R,则a?b?2ab；
22（3）a,b,c?R，则a?b?c?ab?bc?ca。 2．均值不等式： 两个正数的均值不等式：
222a?ba?b?c3?ab； 三个正数的均值不等式：?abc； 23a?a2???annn个正数的均值不等式：1?a1a2?an。
n3．四种均值的关系：
（1）两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是：
a?ba2?b2 ?ab??1122?ab（2）三个正数a、b、c的调和平均数?几何平均数?算术平均数?平方平均数：
3a?b?ca2?b2?c23?abc?? 11133??abc小结：“算数平均数?几何平均数”的多种表达形式： 2整式形式 根式形式 1?2(a?0) baa??2ab1a???2(a?0) (a,b同号）a 11?(a?b)(?)?4(a,b?R)333a?b?c3 a?b?c?3abc?ab?abc??ba3111a?b?c3?a,b,c?R???2(a?b?c)(??)?9?abc?()?ab(a,b,c?R)abc3?(a,b异号）(a,b,c?R?) a2?b2?2ab??a?b2?a,b?R ab?()?2?a?b?ab 2(a,b?R?)分式形式 倒数形式 a? 4.均值不等式求最值： （1）如果x,y?R,xy?P（定值），由______________，当x?y时，x?y有____________； 如果x,y,z?R,xyz?P（定值），由______________，当x?y?z时，x?y?z有__________； （2）如果x,y?R,x?y?S（定值），由______________，当x?y时，xy有____________； 如果x,y,z?R,x?y?z?S（定值），由______________，当x?y?z时，xyz有___________。
利用均值不等式求最值必须注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可！
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能力巩固
考点一：均值不等式与最值
y21.已知x,y,z?R，x?2y?3z?0，则的最小值______________。
xz?
2．设x?0,y?0,x?y?1，x?y最大值是（ ）
23 D. 22A. 1 B.2 C.
3.已知a?0,b?0，且a?b?2，若S?a?b?2ab，则S的最大值为_____________。
494.已知x,y都在区间(?2,2)内，且xy??1，则函数u?的最小值是（ ） ?4?x29?y2A．
5.若a是2?b与2?b的等比中项，则
228241212 B． C． D．
751152ab的最大值为（ ）
|a|?|b|22 D. 42A.2 B. 1 C.
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uuuruuur6．设M是?ABC内一点,且AB?AC?23,?BAC?30?,定义f(M)?(m,n,p),其
141中m、n、p分别是?MBC,?MCA,?MAB的面积，若f(M)?(,x,y),则?的最小值是
xy2_______________。
7．若a,b均为正实数，且a?b?a?mb恒成立，则m的最小值是______________。
变式：（1）若不等式b2??a?b??A．1
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?2B．2
a2对任意正实数a、b都成立，则?的最大值是（ ）
C．3
D．5
（2）若对于任意的实数a?1且b?1，不等式a2?b2?t(a?b?2)恒成立，则实数t的最大值是 ___________。
8. 设x,y都是整数，且满足xy?2?2?x?y?，则x?y的最大可能值为（ ） A. 32 B. 25 C. 18 D. 16
229. 函数f?x??2x?A.?2,4?
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4?x的值域为（ ）
B.?0,25?
??C.?4,25? D.?2,25?
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练习：使关于x的不等式x?3?6?x?k有解的实数k的最大值是（ ） A．6?3 B．3 C．6?3 D．6
810．已知a,b,c?R?且a(3a?4b?2c)?4?bc，则3a?2b?c的最小值为（ ）
3A. 32 B. 22 C. 23 D. 43
练习：若a,b,c?0且a(a?b?c)?bc?4?23，则2a?b?c的最小值为_______________。
考点二：放缩法与不等式 例1. （1）求证：
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111111115????????2????????。 ；变式：122232n2122232n23实用文档
（2）1?
（3）2n?1? （4） （5）1?
11171????????(n?2,n?N?)； 22235(2n?1)62(2n?1)111???????2(n?1?1)； 23n11115?2?3?L?n?； 2?12?12?12?13111??????????2（其中n!?n?(n?1)?(n?2)?L?3?2?1）。 2！3！n!(1+)(1+)L(1+（6）求证：(1+)
标准文案
1113151)?2n?1(n?N?)； 2n-1
专题五均值不等式与最值、放缩法
