3.2.2 函数模型的应用举例
整体设计
教学分析
函数基本模型的应用是本章的重点内容之一.教科书用4个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习.在4个例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用. 教科书中还渗透了函数拟合的基本思想.通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力. 三维目标
1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.
2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题. 3.通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系. 重点难点
根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题. 课时安排 2课时
教学过程
第1课时 函数模型的应用实例
导入新课
思路1.(情景导入)
在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.
与之相应的图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型. 上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应用.
思路2.(直接导入)
上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应用.
推进新课 新知探究 提出问题
①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动
x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).
②A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月. 把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域. ③分析以上实例属于那种函数模型. 讨论结果：①f(x)=5x(15≤x≤40). g(x)=??90,15?x?30,
?2x?90,30?x?405(100—x)2(10≤x≤90)； 2②y=5x2+
③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型. 应用示例
思路1
例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.
图3-2-2-1
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：
图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数s km与时间t h的函数为分段函数. 解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.
?50t?2004,0?t?1,?80(t?1)?2054,1?t?2,??(2)根据图，有s=?90(t?2)?2134.2?t?3,
?75(t?3)?2224,3?t?4,???65(t?4)?2299,4?t?5.这个函数的图象如图3-2-2-2所示.
图3-2-2-2
变式训练
2007深圳高三模拟，理19电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN∥CD). (1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；
(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.
图3-2-2-3
解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：
?20,0?x?100,?50,0?x?500,??f(x)=?3g(x)=?3
x?10,x?100,x?100,x?500.???10?10(2)当f(x)=g(x)时,
3x-10=50, 10∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可; 当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A； 当客户通话时间为x>200分钟时，g(x) 点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型. 例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y0ert, 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 下表是1950～1959年我国的人口数据资料： 年份 人数／万人 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9. 由55196(1+r1)=56300， 可得1951年的人口增长率为r1≈0.020 0. 同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276， r8≈0.0222，r9≈0.0184. 于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为 r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221. 令y0=55 196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为 y=55 196e0.0221t,t∈N. 根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55 196e0.0221t(t∈N)的图象(图3-2-2-4). 图3-2-2-4 由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合. (2)将y=130000代入y=55 196e0.0221t, 由计算器可得t≈38.76. 所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力. 变式训练 一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减. (1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1) 解：(1)最初的质量为500 g. 经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91; 经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92; 由此推知,t年后,ω=500×0.9t. (2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5, 所以t= lg0.5?lg2=≈6.6(年), lg0.92lg3?1即这种放射性元素的半衰期约为6.6年. 知能训练 某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益. (1)求1997年每台A型电脑的生产成本; (2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确 到0.01,以下数据可供参考:5=2.236,6=2.449) 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导. 出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润. 解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得 x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元). (2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)4=3200, 解得y1=1－ 2525,y2=1+(舍去). 55所以y=1－ 25≈0.11=11%, 5即1997年每台电脑的生产成本为3 200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%. 点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关系. 拓展提升 某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 家电名称 每台所需工时 每台产值(千元) 空调 彩电 冰箱 1 24 1 33 1 42 问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少?(以千元为单位) 解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元， 则f=4x+3y+2z， (1)?x?y?z?360,?111其中?x?y?z?120,(2) 34?2(3)?x?0,y?0,z?60,由①②可得y=360-3x,z=2x, ?x?0,?代入③得?360?3x?0,则有30≤x≤120. ?2x?60,?故f=4x+3(360-3x)+2·2x=1080-x, 当x=30时，fmax=1 080-30=1050. 此时y=360-3x=270,z=2x=60. 答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元. 点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体,请同学们借助上面的实例细心体会.
高中数学必修1公开课教案3.2.2 函数模型的应用举例 第1课时
