《圆锥曲线与方程》小结与复习
课题：小结与复习
教学目的：
1. 椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距，椭圆的几何性质，椭圆的画法； 双曲线
的定义、标准方程、焦点、焦距，双曲线的几何性质，双曲线的画法，等轴双曲线；抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距，抛物线的几何性质，抛物线的画法， 2. 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育
教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用.
教学难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、
焦距、准线等.
授课类型：复习课 课时安排：课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、课前预习
椭圆 双曲线 抛物线
定义 标准方程
图形 顶点坐标
对称轴 焦点坐标
渐近线方程
二、复习引入： 名 称
椭 圆 y双 曲 线 y 图 象 OxOx 平面内到两定点F1,F2的距离的和为 定 义 常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭圆即MF1?MF2?2a 当a﹥c时，轨迹是椭圆， 当ac时，轨迹是一条线段F1F2 当a﹤c时，轨迹不存在 平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线即MF1?MF2?2a 当a﹤c时，轨迹是双曲线 当ac时，轨迹是两条射线 当a﹥c时，轨迹不存在 焦点在x轴上时： 标准方 程 焦点在x轴上时：xy??1 a2b222x2y2?2?1 2ab焦点在y轴上时：y2x2焦点在y轴上时：2?2?1 ab注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 y2x2??1 a2b2常数a?c?b，a?b?0， a最大，c?b,c?b,c?b 222c2?a2?b2，c?a?0 c最大，可以a,b,c的关 系 a?b,a?b,a?b 焦点在x轴上时： 渐近线 xy??0 ab焦点在y轴上时： yx??0 abyy抛物线： ylyOFOF图形 lxxFOxFOlx l 方y2?2px(p?0) y2??2px(p?0) x2?2py(p?0) 程 焦点 x2??2py(p?0) p(,0) 2(?p,0) 2p(0,) 2p(0,?) 2三、章节知识点回顾： 椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标
准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
x2y2y2x2．椭圆的标准方程：2?2?1，2?2?1（a?b?0）
ababx2y2．椭圆的性质：由椭圆方程2?2?1(a?b?0)
ab()范围: ?a?x?a,?b?y?b，椭圆落在x??a,y??b组成的矩形中．
()对称性:图象关于y轴对称．图象关于x轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中
心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
（）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点： A(?a,0),A2(a,0)，B(0,?b),B2(0,b)加两焦点
F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为
2a,2ba,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
()离心率: 椭圆焦距与长轴长之比e?bc?e?1?()20?e?1
aa椭圆形状与e的关系：e?0,c?0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e?0时的特例e?1,c?a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e?1时的特例
．双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线即MF1?MF2?2a 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（?两条平行线）
两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（?两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 ．双曲线的标准方程及特点：
（）双曲线的标准方程有焦点在轴上和焦点轴上两种：
x2y2 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：2?2?1(a?0,b?0)；
aby2x2 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：2?2?1(a?0,b?0)
ab.a,b,c有关系式c?a?b成立，且a?0,b?0,c?0 其中与的大小关系:可以为a?b,a?b,a?b
焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y项的系数是正的，那么焦点在y轴上 ．双曲线的几何性质： （）范围、对称性
2222222x2y2由标准方程2?2?1，从横的方向来看，直线之间没有图象，从纵的方向来看，随着
ab的增大，的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线
双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （）顶点
顶点：A1(a,0),A2??a,0?，特殊点：B1(0,b),B2?0,?b?
实轴：A1A2长为2a, 叫做半实轴长虚轴：B1B2长为，叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 （）渐近线
x2y2bxy过双曲线2?2?1的渐近线y??x（??0）
abaab（）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比e?2cc?，叫做双曲线的离心率范围：e?1 2aabc2?a2c2双曲线形状与的关系：k????1?e2?1，越大，即渐近线的斜率的2aaa绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它
的开口就越阔 ．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（）渐近线方程为：y??x；（）渐近线互相垂直；（）离心率e?．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为y??2
bkbx??x(k?0)，那么此双曲线方程就一定akax2y2x2y2???1(k?0)或写成2?2?? 是：22(ka)(kb)ab．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量中不同（互换）相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将变为 ．双曲线的焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：
当双曲线焦点在轴上时，
过左焦点与左支交于两点时： AB??2a?e(x1?x2) 过右焦点与右支交于两点时：AB??2a?e(x1?x2) 当双曲线焦点在轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：AB??2a?e(y1?y2) 过右焦点与右支交于两点时：AB??2a?e(y1?y2) ．双曲线的通径：
2b2定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 d?
a 抛物线定义：
平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 ．抛物线的准线方程：
pp,0)，准线l：x?? 22pp2()x?2py(p?0), 焦点:(0,)，准线l：y??
22pp2()y??2px(p?0), 焦点:(?,0)，准线l：x?
22pp2()x??2py(p?0), 焦点:(0,?)，准线l：y?
22 ()y?2px(p?0), 焦点:(2相同点：()抛物线都过原点；()对称轴为坐标轴；()准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
12pp，即? 4422不同点：()图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，方程右端为?2px、左端为y；图形关于轴对称时，为二次项，为一次项，方程右端为?2py，左端为x （）开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或轴）负
向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号 ．抛物线的几何性质 （）范围
2
圆锥曲线与方程小结与复习教案 人教课标版（实用教案）
