2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1～8小题，每小题
4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数f(x)在（-拐点个数为（）
连续，其2阶导函数f(x)的图形如下图所示，则曲线,+）
yf(x)的
（A）0 2、设y则（）（A）a（C）a
（B）1 （C）2
x
（D）3
12
e
2x
x
13
e是二阶常系数非齐次线性微分方程
yaybyce的一个特解，
x
3,b3,b
1,c2,c
1.
1.（B）a（D）a
3,b3,b
2,c2,c
1.1.
n
3、若级数
n1
an条件收敛，则x
3与x3依次为幂级数
n1
nanx1
的：
（A）收敛点，收敛点（C）发散点，收敛点4、设D是第一象限中曲线在D上连续，则
D1
（B）收敛点，发散点（D）发散点，发散点
2xy1,4xy
1与直线y
x,y
3x围成的平面区域，函数f(x,y)
f(x,y)dxdy
1
（A）
24
d
sin2
12sin21
f(rcos,rsin)rdr
（B）
24
d
sin212sin21
f(rcos,rsin)rdr
（C）
34
d
sin212sin2
f(rcos,rsin)dr
（D）
1
34
d
sin2
12sin2
f(rcos,rsin)dr
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
11
5、设矩阵A
1aa
2
1
，b
1214
dd
2
，若集合
{1,2}，则线性方程组
Axb有无穷多个
解的充分必要条件为（A）（C）
aa
,d,d
（B）（D）
aa
,d,d
Py下的标准形为2y
2
1
6、设二次型
f(x1,x2,x3)在正交变换x
y
22
y，其中Qy下的标准形为
23
P
(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x
（B）2y（D）2y
2
1
（A）（C）7、若（A）
2y2y
21
yy
22
yy
23
yy
22
yy
23
212223212223
A,B为任意两个随机事件，则P(AB)P(AB)
P(A)P(B)P(A)
2
X,Y不相关，且EX
（B）3
（C）-5
（B）
P(AB)P(AB)
P(A)P(B)P(A)
2
3,则EXX
（C）
P(B)
（D）
P(B)
8、设随机变量（A）-3
2,EY1,DX
Y2
（D）5
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、lim
x
lncosxx(
2
0
2
sinx1cosx
10、
-
x)dx
z
2
11、若函数z12、设
z(x,y)由方程exyz+xcosx2确定，则dz
(0,1)
.
是由平面
xyz
1与三个坐标平面所围成的空间区域，则
(x2y3z)dxdydz
2
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20002
222
-120
13、n阶行列式
00
0-12
Y
0)
14、设二维随机变量
(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则P(XY
.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
15、（本题满分10分）设函数f(x)求a，
xaln(1x)bxsinx，g(x)kx，若f(x)与g(x)在x
3
0是等价无穷小，
b，k值。
16、（本题满分10分）设函数在
f(x)定义域I上的导数大于零，若对任意的
x
x0及x轴所围成的区域的面积为
x0
I
，曲线y
f(x)在点(x0,f(x0))处
的切线与直线
4，且f(0)
2，求f(x)的表达式.
17、（本题满分10分）已知函数导数.
18、（本题满分10分）(Ⅰ)设函数
f(x,y)xy
2
:xy，曲线Cx
y
2
xy
3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向
u(x),v(x)可导，利用导数定义证明
u(x)v(x)'
u1(x)u2(x)...un(x),写出f(x)的求导公式
.
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)
(Ⅱ)设函数
u1(x),u2(x)...un(x)可导，f(x)
2
2
19、（本题满分10分）已知曲线
L的方程为
(y
z)dx
zz(z
2
2x,x
2
xy,
起点为
A(0,2,0)，终点为B(0,2,0)，计算曲线积
分I
L
y)dy(x
2
y)dz
2
3
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
20、（本题满分11分）设向量组
1,
2,3
是3维向量空间
3
的一个基，
1
2
1
2k
3
，
2
2
2
，
31
(k1)
3。
（Ⅰ）证明向量组
1,2,
3是
3
的一个基；
在基
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量的
。
1
,
2
,
3与基
1
,
2
,
3
下的坐标相同，并求出所有
21、（本题满分11分）
0
设矩阵
23-2
-33a
相似于矩阵
1-2B
00
b3
001
.
A-11
（Ⅰ）求
a,b的值.
P，使得PAP为对角阵
1
（Ⅱ）求可逆矩阵.
22、（本题满分11分）设随机变量
X
-x
的概率密度为
f(x)=
对
2ln20
Y
x0x
0
2个大于3的观测值出现时停止，记
X
进行独立重复的观测，直到第
的概率分布；
Y
为观测次数.
（Ⅰ）求（Ⅱ）求
EY.
的概率密度为
23、（本题满分11分）设总体
X
1
f(x;)=1
0
其中
x1其他
为未知参数，
X1，X2.....Xn为来自该总体的简单随机样本
4
.
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
（Ⅰ）求（Ⅱ）求
的矩估计. 的最大似然估计.
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1～8小题，每小题
4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A）
2
1x
dx
（B）
2
lnxx
dx (C)
2
dx (D)
xlnx)内（）
1x
2
e
x
dx
(2)函数f(x)
lim(1t0
sintx
x2
)
t
在(,
（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
(3)设函数
f(x)
1
xcos,x
x0,x0
0
(0,
0)，若f(x)在x
0处连续，则（）
（A）(4) 设函数
1 (B)0f(x)在(
,
1 (C)2 (D)02
f(x)的
)连续，其二阶导函数f(x)的图形如右图所示，则曲线y
拐点个数为（）
（A）0 (B)1 (C)2 (D)3
(5).设函数f(u，v)满足f(x
y,)x
y
x
2
ff
与依次是（）y，则
1u1uuvv1v1
2
5
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
