答案：
一、选择题 1 A 2 D 3 B 4 D 5 A 6 7 8 C 9 B 10 11 12 A D B C C 二、填空题 13 90 14 6 15 2 16 1[4，＋∞）
三、解答题
17. （12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． a2?(b?c)2?(2?3)bc，（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若等差数列?an?的公差不为零，且a1sinA?1，且a2、a4、a8成等比数列，求
?4???的前n项和Sn． aa?nn?1?解：（Ⅰ）由a2?(b?c)2?(2?3)bc，a?b?c??3bc，所以
222b2?c2?a23， ---------------------------------------- ????6分 cosA??2bc2
（2）设?an?的公差为d，由得a1?2，且a42?a2a8，∴(a1?3d)2?(a1?d)(a1?7d)． 又d?0，∴d?2，∴an?2n． ∴
4111， ???anan?1n(n?1)nn?1∴Sn?(1?)?(?)?(?)?…?(?12112311341n11n)?1??． ????12分 n?1n?1n?11BF?1,平面ABCD?平面ABFE. 218. （12分）在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，?ABF为直角，AE//BF,AB?（Ⅰ）求证：DB?EC；
（Ⅱ）若AE?AB,求二面角C?EF?B的余弦值.
??底面ABFE为直角梯形，AE//BF,?EAB?9018. 解：（Ⅰ）
z y ?AE?AB,BF?AB
?平面ABCD?平面ABFE,平面ABCD?平面ABFE?AB
?AE?平面ABCD.BF?平面ABCD?BF?BC
x,y,z轴建立如图坐标系 设AE?t,以BA,BF,BC所在的直线分别为， 则B?0,0,0?,C(0,0,1),D(1,0,1),E(1,t,0)DB?(?1,0,?1),EC?(?1,?t,1)
?DB?EC?0?DB?EC-------------------------------------------------------???????6分
x 1）知BC?(0,0,1)是平面BEF的一个法向量 （Ⅱ）（一） 由（设n?(x,y,z)是平面CEF的法向量
?AE?AB?1,?E(1,1,0),F(0,2,0)?CE?(1,1,?1),CF?(0,2,?1)
由CE?n?0?x?y?z?0,由CF?n?0?2y?z?0 令z?2,得x?1,y?1,故n?(1,1,2)是平面CEF的一个法向量 ?cosn,BC?n?BCn?BC?63,即二面角
C?EF?B的余弦值为63???12分
（二）做CP?EF,连接BP.则 ∠BPC就是所求的二面角
19.（12分）某校高三有500名学生，在一次考试的英语
成绩服从正态分布N(100,17.5)，数学成绩的频率分布直方图如图： （Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，则本次考试
英语、数学特别优秀的大约各多少人？（数学特别优秀的频率是(130,150)频率的
23） 4（Ⅱ）如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，求单科优秀的总人数？ 若从（Ⅰ）
中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有?人，求?的分布列和数学期望。 参考公式及数据：
若X~N(?,?)，则P(????x????)?0.68，
2P(??2??x???2?)?0.96，P(??3??x???3?)?0.99.
19.解：（Ⅰ）?英语成绩服从正态分布N(100,17.5),
∴英语成绩特别优秀的概率为P1?P(X?135)?(1?0.96)?21?0.02 2?200.024数学成绩特别优秀的概率为P2?0.0016?,?=0.024
∴英语成绩特别优秀的同学有500?0.02?10人，
数学成绩特别优秀的同学有500?0.024?12人. ????6分 （Ⅱ）英语和数学都特别优秀的有6人，单科优秀的有10人，
34?可取得值有0,1,2,3，
321C10C10C327； P(??0)?3?； P(??1)?36?C1614C1656123C10C6C6151； P(??2)??P(??3)??33C1656C1628故?的分布列为：
? P 0 1 2 3 3 1427 5615 561 28?的数学期望为E(?)?0?3271519?1??2??3??（人）． 1456562883?69? ????12分 168或：因?服从超几何分布，所以E(?)?x220．（12分）已知椭圆M:2?y2?1(a?1)右顶点、上顶点分别为A、B，且圆O：x2?y2?1a的圆心到直线AB的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程与离心率；
（Ⅱ）若直线l与圆O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求的最大值．
PQ
20．解：（Ⅰ）据题意：椭圆
焦点在x轴上，
则A（a，0），B（0，1），故直线AB的方程为：，即：x+ay﹣a=0．
∴点O到直线AB的距离为：，解得，
故椭圆的方程为
．离心率e?6 ????6分 3，得
，
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入此时
．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， ∵直线l与圆O相切，所以
，即m2=1+k2，
由，消去y，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0，
△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣1）=12（1+3k2﹣m2）=24k2，由△＞0，得k≠0， 则
，
∴则
，
=
，
当且仅当1+k2=2k2，即k=±1时，|PQ|取得最大值综上所述，|PQ|最大值为
21．（12分）已知函数f?x??．
． ????12分
1?ln?x?1?.
x?1（Ⅰ）（Ⅰ）求函数y?f?x?在点(e?1,f(e?1))处的切线方程
(Ⅱ)令g?x???x?1?f?x???a?2?x?x，若g?x?既有极大值，又有极小值，求实数a的范围；
221. 解：（Ⅰ）函数y?f?x?定义域为x?(?1,??)，f(x)??……2(x?1)
'ln(x?1)k?f'(e?1)??
12，切线方程为 x?ey?3e?1?0……6分 2 e2（Ⅱ）g(x)?1?ln(x?1)?(a?2)x?x，
'12x2?(4?a)x?3?ag(x)??(a?2)?2x?
x?1x?1g(x)既有极大值，又有极小值等价于方程2x2?(4?a)x?3?a?0在区间(?1,??)上有
两个不相等的根
?2?(a?4)?3?a?0?a?4即：?解得a?22. x???14?2???(a?4)?8(3?a)?0所以所求实数a的取值范围是(22,??).…… …… 12分
22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，
以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．
Ⅰ写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； Ⅱ若点P的直角坐标为，曲线C与直线l交于两点，求的值．
22.解：（Ⅰ）直线l的参数方程为
可得直线l的普通方程为：
x+y-
（t为参数），消去参数， =0
曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6x，
即圆C的直角坐标方程为：（x-3）2+y2=9 ?（5分） （Ⅱ）把直线的参数方程代入圆C的方程，化简得：t2+2t-5=0 所以，t1+t2=-2，t1t2=-5＜0 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=
=
?（10分）
吉林省长春市榆树一中2018届高三2月阶段模拟考试数学理试题+Word版含答案
