一类特殊混合跳-扩散模型的欧式回望期权定价
杨朝强
【摘 要】摘 要 ：利用分数Girsanov公式和分数Wick-It?o-Skorohod积分,建立了一个基于标准布朗运动、分数布朗运动、Poisson过程的线性组合的金融市场模型,结合Merton假设条件以及风险资产所满足的随机微分方程的Cauchy初值问题,给出了混合跳-扩散模型下的欧式看跌期权定价的Merton公式,给出了混合跳-扩散分数布朗运动下连续支付红利的欧式固定履约价和浮动履约价的看涨回望期权及看跌回望期权定价公式.数值模拟与仿真结果验证了模型的有效性和准确性.
【期刊名称】华东师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2017(000)004 【总页数】17
【关键词】关键词 ：混合跳扩散分数布朗运动;Merton假设条件;分数Wick-It?o-Skorohod积分;欧式回望期权 征稿启事
0 引言
近年来关于抛物型随机偏微分方程模型的研究越来越受到学者们的关注,抛物型随机偏微分方程理论已经被广泛应用于随机过程与随机分析、金融数学与金融工程、运筹学与控制论等领域.混合分数布朗运动(mfBm)模型是一类特殊的抛物型随机微分方程,是高斯过程的衍生过程.众所周知的期权定价理论是金融数学和金融工程的核心理论,混合分数布朗运动是布朗运动和分数布朗运动的线性组合,已经被广泛地应用于期权定价理论.文献[1]最早把布朗运动和分数布朗运动
组合在一起研究了欧式期权的定价；文献[2]研究了混合分数布朗运动样本轨道的Holder连续性和自相似性;文献[3-6]已经多次应用跳-扩散模型来刻画股票价格的随机跳行为,并给出了相应的期权定价公式,但这种跳-扩散模型无法处理Wick积分,同时无法定义适合的随机积分来刻画股价的变化,于是使用混合分数布朗运动来刻画金融资产的波动过程是比较合理的[7-10].由于分数布朗运动的It?o公式和分数Wick-It?o-Skorohod积分所建立的Black-Scholes(简称B-S模型)已经远远超越了B-S模型的定义和属性,学者们发现所建立的分数B-S模型不能准确地描述资产的浮动收益和金融市场的波动情形[9].事实上,由于分数布朗运动的自相似性、厚尾性和长程关联性,使得分数布朗运动既不是Markov过程又不是半鞅,这给随机分析和随机计算带来了极大的困难.于是有些学者[11-12]提出用混合跳-扩散分数布朗运动(mj-dfBm)模型来刻画金融市场的波动行为.
本文研究一类特殊的混合跳-扩散分数布朗运动模型,不同于文献[12]的混合跳-扩散分数布朗运动模型,本文的模型是基于标准布朗运动、分数布朗运动、Poisson过程的线性组合,利用It?o公式和分数Wick-It?o-Skorohod积分建立了一个新的市场定价模型,给出了连续支付红利的欧式固定履约和浮动履约回望期权的定价公式,为了刻画利率的异常波动情形.最后给出的数值模拟与仿真验证了模型的有效性.结果表明,本文的混合跳-扩散分数布朗运动模型便于计算,可操作性强,不但能有效地刻画金融市场的隐含波动率的变化,而且能够合理地解释金融市场的“微笑”现象.
1 预备及引理
定义1[1]设0＜H＜1,Hurst参数为H的分数布朗运动,是一个连续高斯过程定
义含有参数α,β和H的混合分数布朗运动,是由Hurst参数为H的分数布朗运动和标准布朗运动的线性组合,定义概率空间(?,F,P),对任意的t∈R+,满足 其中Bt是标准布朗运动,是含有参数H的独立分数布朗运动,α,β是两个给定的实数且满足(α,β)(0,0).
性质1[2]混合分数布朗运动具有如下性质. 其中∧表示两个数中取最小;
(iv)对任意的h＞0,(α,β)的独立平稳增量具有自相似性, 其中r是常数无风险利率.
引理1—引理5的证明详见文献[1,9,10].
2 混合跳扩散分数布朗运动定价模型与分数Wick-It?o-Skorohod积分
2.1 混合跳扩散分数布朗运动定价模型
假设某一支期权的价值Vt=V(St,t)依赖于St和t,动态股票价格满足如下随机微分方程
其中μ是期望收益率,σ1,σ2,Bt,的定义见引理3,Bt和是相互独立的. 引理6[11]设Vt=V(S,t)是二元可微函数.若随机过程St适合随机微分方程 引理7设Vt=V(St,t),V是二元可微函数.若随机过程St适合随机微分方程 证明假设d Pt服从如下形式的两点分布:
在时间区间[t,t+d t]内,可以确定事件ω1发生的概率为P(ω1)=1?λd t,事件ω2发生的概率为P(ω2)=λd t,记St+＞St表示股票价格St在t时刻上跳,St+＜St表示股票价格St在t时刻下跳,注意到非负,于是St+=St(1+jt)＞0.设∏是通过简单的对冲原理?得到一个金融衍生产品,选取适当的?使得投资组合在
一类特殊混合跳-扩散模型的欧式回望期权定价
