（一）重点知识点概述
1、 分类计数原理，即加法原理。完成一件事情有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方
法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N?m1?m2?……?mn种不同的方法。分类计数中，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事情。
2、 分步计数原理，即乘法原理。完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方
法，做第2步中有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N?m1m2……mn种不同的方法。分步计数中，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事情才算完成。
3、 组合数Cm?nm(m?1)…(m?n?1)，从m个不同物品中，选出n个的方法数，其中n?m。
n!4、 结合方程、比例、容斥原理等一般数学思想解决问题。 5、 学会观察数列、图形之间的规律 6、 学会总结归纳，确定所求
（二）重点考题精编
111【例 1】 有一个数列，第一项为9，如果an小于2，则an+1为an的2倍，如果an大于2，
则n+1为an的2倍减1
（1）写出他的前6项 （2）写出他的第2013项 （3）前多少项的和是150
124875解析：（1）,,,,,
9999994（2）六个一循环，
9（3）一个循环等于3，150÷3×6=300
【例 2】 有一个数列，第一项为1，第二项为1，后一项是前两项之和除以3的余数
（1）写出他的第三、四、五、六项 （2）写出他的第150项
（3）若前n项的和是1111，n项存在么？若存在请给出n是多少，若不存在请给出理由。
解析：（1）2,0,2,2
（2）1,1,2,0,2,2,1,0,1,1得出8个一循环。150÷8=18…… 6，故答案是2 （3）前8个数的和是9,1111÷9=123…… 4
每个循环节前3个数与前4个数之和均为4，所以n=123×8+3=987，n=123×8+4=988
【例 3】 在所有四位数中，前两位的数字之和与后两位的数字之和都大于6的共有
个
解：分为两步确定这个四位数：（1）确定前两位数字；（2）确定后两位数字。
第一步可根据千位数字不同分为9类，每一类方法数求和。即共有4?5?6?7?8?9?10?10?10?69种不同方法；
第二步可根据十位数字不同分为10类，每一类方法求和。即共有3?4?5?6?7?8?9?10?10?10?72种不同的方法。 综上，符合题目要求的不同四位数共有69?72?4968个。
【例 4】 在1到100这100个自然数中，取两个不同的数，使他们的和是7的倍数，共有
种不同的取法。
解：先将1到100按被7除的余数分组，第n组包含被7除余n的数，n?0,1,2,……,6。其中第1、2组每组15个数，其余各组每组14个数，两个不同自然数的取法有如下四类：
2?91； （1）两个自然数均属于第0组，方法数为C14（2）两个自然数分别属于第1组和第6组，方法数为15?14?210； （3）两个自然数分别属于第2组和第5组，方法数为15?14?210； （4）两个自然数分别属于第3组和第4组，方法数为14?14?196； 综上，不同的取法共有91?210?210?196?707种。
【例 5】 可以重复的使用数码0至7，可以组成 个小于10000的自然数 解：符合题目条件的自然数共有84?4096个。
【例 6】 在自然数中用两位数做被减数，一位数做减数，共能组成 个不同的减法
算式
解：共能组成不同的减法算式90?10?900个。
【例 7】 在1到100这100个自然数中，取两个不同的数，使他们的和是7的倍数，共有
种不同的取法。
解：先将1到100按被7除的余数分组，第n组包含被7除余n的数，n?0,1,2,……,6。其中第1、2组每组15个数，其余各组每组14个数，两个不同自然数的取法有如下四类：
2?91； （1）两个自然数均属于第0组，方法数为C14（2）两个自然数分别属于第1组和第6组，方法数为15?14?210； （3）两个自然数分别属于第2组和第5组，方法数为15?14?210； （4）两个自然数分别属于第3组和第4组，方法数为14?14?196； 综上，不同的取法共有91?210?210?196?707种。
【例 8】 两次投掷一枚六面骰子，两次掷出的数字和为偶数的情况有 种 解：分两类情况：两次均为偶数或均为奇数，不同的情况有3?3?3?3?18种。
【例 9】 (1)两个盒子中分别装有形状大小相同红球、白球、黄球各1个，从每个盒中摸出一个
1球，两球同色的概率为_______．3
(2) 三个盒子中分别装有形状大小相同红球、白球、黄球各1个，从每个盒中摸出一个球，
三球同色的概率为_______．恰有两球同色的概率为___１８／２７_______．三个球彼此不
122同色的概率为______６／２７________．，，
939【例 10】 将下列分数约成最简分数：
16666666666=______________。
66666666664答案：
1 4【例 11】 将自然数1，2，3，4…按箭头所指方向顺序排列（如图），依次在2，3，5，7，10…
等数的位置处拐弯。
（1）如果2算作第一次拐弯处，那么第45次拐弯的数为 。 （2）从1978到2010的自然数中，恰好在拐弯处的数为 。
答案：（1）530 （2）1981
观察拐弯处的数的规律,可以得到n个拐弯处的数,
当n为奇数时为 1+(1+3+5+…+n)=(当n为偶数时为 1+2×(1+2+3+…+
nn?12)+1;
2
2)=(1+
n2)×
2
n2+1.
(1)第45次拐弯处的数是(
45?12)+1=530.
(2)试算n=89时,拐弯处的数是( n=88时,拐弯处的数是(1+ n=87时,拐弯处的数是(
89?1288)+1=2026;
2
8822)×
2
2+1=1981;
87?1)+1=1937;
所以1978~2010中,恰在拐弯处的数是1981.
【例 12】 有这样一个数123456789101112……20092010，问这个数有多少位，第901位是数字
为 。
答案：有6933位，901位是3
【例 13】 20个数排成一列，相邻三个数的和是10，第一个数是1，第5个数是2，那么第19个
数是 。
答案：5
【例 14】 现有如下一系列图形：
n=1 n=2 n=3
当n=1时，长方形ABCD分为2个直角三角形，总计数出5条边。 当n=2时，长方形ABCD分为8个直角三角形，总计数出16条边。 当n=3时，长方形ABCD分为18个直角三角形，总计数出33条边。 ……
按如上规律请你回答：当n=100时，长方形ABCD应分为 个直角三角形，总计数 出 条边
答案：20000个；30200条
分析：直角三角形=2×n 2×100=20000个
2
2
【例 15】 有这样一列数：1×3×5×7×9×11×…×1999，这列数除以8的余数
为 。
答案：7
【例 16】 一个人从中央（标有0）的位置出发，向东、向北各走1千米，再向西、向南各走2
千米，再向东、向北走3千米，向西、向南各走4千米，……。如此继续下去，他每走1千米，就把所走的路程累计数标出（如图），当他走到距中央正东100千米处时，他共走了______________千米。
答案：
六年级下册数学试题-小升初专题训练-杂题含答案
