平面向量专题（1）（答案附后）
一、基本概念：
①平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方
??向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ②相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记
??为a?b。大小相等，方向相同
?x?x2(x1,y1)?(x2,y2)??1。 ?y1?y2二、平面向量的坐标运算：
rrrr①若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?；uuur②若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?；
rr③若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)；
rrrr④若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0。
三、练习
rrrr1、①若|a|＝|b|，则a=b；
uuuruuur ②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB?DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条
件；
rrrrrr③若a=b，b=c，则a=c；
rrrrrr④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；
rrrrrr⑤ 若a//b，b//c，则a//c；
⑥若|a|＝0，则a为零向量；
⑦若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ⑧若a∥b，则|a|＝|b|； ⑨若a＝0，则－a＝0. 其中正确个数有________个．
→→→
2、D是△ABC的边BA上的中点，则向量CD等于 （用BC和BA.表示）
m
3、已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝( )
nA．－2 1C．－
2
B．2 1D. 2
4、(2014年衡阳六校联考)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
→→→→
5、在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝→
(1,5)，则BC＝________.
6、已知向量a?(1,3)，b?(?2,0)，则a?b=_____________________.
ur7、已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)， rur n?(sinB,sinA)，p?(b?2,a?2) .
urr（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；
urur?（2） 若m⊥p，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .
3
平面向量专题（1）练习参考答案：
1、解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；
②正确；∵
uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?DC，∴ |AB|?|DC|且AB//DC，
又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四
uuuruuuruuuruuur边形，则，AB//DC且|AB|?|DC|，
uuuruuur因此，AB?DC。
③正确；∵
rrrra=b，∴ a，b的长度相等且方向相同；
rrrr又b＝c，∴ b，c的长度相等且方向相同，
rrrr∴ a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。
rrrrrrrrrr ④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是
rra=b的充要条件，而是必要不充分条件；
rr ⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况；⑦中两个向量的模相等，只能说明它们的长度相
等，并不意味着它们的方向是相同或相反的；⑧中两个向量平行，只说明这两个向量的方向相同或相反，对向量的模没有要求；故只有⑥⑨正确．
综上所述，正确命题的序号是②③⑥⑨。
→→→→1→→1→
2、解析：如图，CD＝CB＋BD＝CB＋2BA＝－BC＋2BA.
3、解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因m1
为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.
n24、解析：由题意知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1. →→→
5、解析：AQ＝PQ－PA＝(－3,2)，
→→
∴AC＝2AQ＝(－6,4)． →→→
PC＝PA＋AC＝(－2,7)， →→
∴BC＝3PC＝(－6,21)．
rrrr|a?b|?1?3?2. 6、解析：由Qa?b?(?1,3),?uvv7、证明：（1）Qm//n,?asinA?bsinB,
ab，其中R是三角形ABC外接圆半径，a?b ??ABC为等腰三角形 ?b?2R2Ruvuv（2）由题意可知m//p?0,即a(b?2)?b(a?2)?0
即a??a?b?ab
由余弦定理可知， 4?a?b?ab?(a?b)?3ab
222即(ab)2?3ab?4?0
?ab?4(舍去ab??1)
?S?
11?absinC??4?sin?3 223
平面向量专题（优秀经典专题及答案详解）
