函数与导数
05函数 二次函数及应用
【考点讲解】
一、具体目标：
1.掌握二次函数的图象与性质,
2.会求二次函数的最值(值域)、单调区间.
从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用． 二、知识概述：
1.与二次函数有关的绝对值问题：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质、绝对值不等式及式子变形的技巧，还要注意用某几个特定的函数值表示二次函数的系数. 2.二次函数与二次方程及二次不等式：
解决这类问题应注意二次函数、二次方程及二次不等式之间的关系及相互转化. 3.二次函数求最值问题，一般先用配方法化为
y?a?x?h??k的形式，得顶点?h,k?和对称轴方程
2x?h，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：
(1)顶点固定，区间也固定；
(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外； (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
4.二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 【优秀题型展示】
1.已知二次函数f(x)?ax?bx?1(a,b?R,a?0)，设方程f(x)?x的两个实数根为x1和x2.
2
（1）如果x1?2?x2?4，设函数的对称轴为x?x0，求证：x0??1； （2）如果x1?2，x2?x1?2，求b的取值范围.
【解析】（1）设g(x)?f(x)?x?ax?(b?1)x?1，
2Qa?0，?由条件x1?2?x2?4，
得g(2)?0,g(4)?0.即??4a?2b?1?0,31??4a?b??2a.
2?16a?4b?3?04显然由
3113b1， ?4a??2a得a?.即有2????1?4288a2a4a故x0??b11?1??1???1.
12a4a4?82（2）由g(x)?ax?(b?1)x?1?0，知x1x2?1?0，故x1与x2同号. a①若0?x1?2,则x2?x1?2（负根舍去），?x2?x1?2?2.
?g(2)?0，即4a?2b?1?0.(b?1)24?(x2?x1)???4，
a2a2(*)
， ?2a?1?(b?1)2?1 （a?0,负根舍去）代入（*）式，得?2(b?1)?1?3?2b，解出b?21. 4②若?2?x1?0，则x2??2?x1??2（正根舍去），
?g(?2)?0，即4a?2b?3?02(**).
2将2a?1?(b?1)?1代入（**）式得2(b?1)?1?2b?1， 解得b?7. 417或b?. 44综上，b的取值范围为b?
2.已知二次函数f(x)?ax?bx?c.
（1）对于x1,x2?R，且x1?x2,f(x1)?f(x2)，求证：方程f(x)?
且必有一个实根属于(x1,x2)； （2）若方程f(x)?21 [f(x1)?f(x2)]有不等的两实根，
211[f(x1)?f(x2)]在(x1,x2)内的根为m，且x1,m?,x2成等差数列，设x?x0是22f(x)的对称轴方程，求证：x0?m2.
证明：（1）由f(x)?1[f(x1)?f(x2)]得： 222ax2?2bx?a(x12?x2)?b(x1?x2)?0.
2Qa?0,???(2b)2?4?2a?[?a(x12?x2)?b(x1?x2)]?2(2ax1?b)?2(2ax2?b)?0.又x1?x2,?2ax1?b?2ax2?b.???0.
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1?方程f(x)?[f(x1)?f(x2)]有不等的两实根.
2令g(x)?f(x)?[f(x1)?f(x2)]，则g(x)是二次函数. 由g(x1)?g(x2)?[f(x1)?12f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)][f(x2)?]
221??[f(x1)?f(x2)]2?0,f(x1)?f(x2)
4得g(x1)?g(x2)?0,?g(x)?0的根必有一个属于(x1,x2). 综上，方程f(x)?1[f(x1)?f(x2)]有不等的两实根，且必有一个实根属于(x1,x2). 2（2）由题设得2f(m)?f(x1)?f(x2)，即有
2a(2m2?x12?x2)?b(2m?x1?x2)?0.
12). Qx1,m?,x2成等差数列，?2m?x1?x2?1.?b??a(2m2?x12?x22
2020年高考数学(理)函数与导数 专题05 二次函数及应用(解析版)
