2012江苏省南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测试题
15． 解：（1）由题意，f(x)的最大值为m2?2，所以m2?2=2．
π 而m?0，于是m?2，f(x)?2sin(x?)．
4ππ3πf(x)为递减函数，则x满足2kπ+≤x?≤2kπ+ ?k?Z?，
242π5π 即2kπ+≤x≤2kπ+?k?Z?．
44?π?所以f(x)在?0，π?上的单调递减区间为?，π?．
?4?c3 （2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得2R??=23．
sinCsin60ππ 化简f(A?)?f(B?)?46sinAsinB，得
44 sinA?sinB?26sinAsinB．
由正弦定理，得2R?a?b??26ab，a?b?2ab． ① 由余弦定理，得a2?b2?ab?9，即?a?b??3ab?9?0． ②
将①式代入②，得2?ab??3ab?9?0．
3331 解得ab?3，或 ab??（舍去）． S?ABC?absinC?．
4222216．解：（1）连接CE交AD于O，连接OF． 因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，从而OF//C1E．
OF?面ADF，C1E?平面ADF， 所以C1E//平面ADF．
（2）当BM=1时，平面CAM?平面ADF． 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
由于B1B?平面ABC，BB1?平面B1BCC1，所以平面B1BCC1?平面ABC． 由于AB=AC，D是BC中点，所以AD?BC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD?平面B1BCC1．
而CM?平面B1BCC1，于是AD?CM． 因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以Rt?CBM≌Rt?FCD，所以CM?DF．
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CFCO2??． CC1CE3 DF与AD相交，所以CM?平面ADF． CM?平面CAM，所以平面CAM?平面ADF．
当BM=1时，平面CAM?平面ADF．
2，c=2，得a=22，b=2． 2x2y2 所求椭圆方程为??1．
8417． 解：（1）由e? （2）设A(x0，y0)，则B(?x0，-y0)， y??x?2y0??2?x0 故M?0，?，N?，?0?．
2?2??2?2 ① 由题意，得OM?ON?0．
化简，得x02?y02?4，所以点A在以原点为圆心，2为半径的圆上． ?y0?kx0?2y02?x0 ② 设A(x0，y0)，则?2?2?1?b?a22?x0?y0?4??x02k2x021k21?2?2?1?2?2?(1?k2)． b?aab4?x2?k2x2?40?0 将e?c24?，b2?a2?c2?2?4，代入上式整理，得 aaek2(2e2?1)?e4?2e2?1．
因为e4?2e2?1?0，k2>0，所以 2e2?1?0，e?22．… 242?e4?2e2?1?e?8e?4≥0,所以 k? ≥3．化简，得?22e2?12e?1?0.?? 解之，得
21 ?x0tan?，PC?2?x0tan?． 18． 解 ：（1）设P0B?x0，则PB11P2C?2?x0tan?PC221=． P3D?(3?x0)tan??2，??x0，P2D?3?x0?tan?tan?tan?tan?P3A?4?(3?x0)tan?， AP4?442 ?(3?x0)．由于P4与P0重合，AP4?P0B?3，所以?6，即tan??． tan?tan?3高三数学二模参考答案与评分意见 第 2 页 （共 7 页） （2）由（1），可知AP4?4?4． tan?22?tan??1，即?t?1． S=S33四边形 因为P4落在A、P0两点之间，所以 ABCD?S?P0BP1?S?PCP?S?P2DP3?S?P3AP4 12112?1?2?1??4? ?6?tan??(2?tan?)??1???4??4? ?(4tan??2)?(4?4tan?)?22tan??2?tan??2??tan??24???58??34tan??? tan???12?12?122??=32?451． ?32??17t??．由于?t?1，所以32??17t??≤32?217t?t?t?t3??故S的最大值为32?451． 19． 解：（1）由g(x)≥?x2?(a?2)x，得?x?lnx?a≤x2?2x． 由于x??1，e?，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx?x，x?lnx?0． ?x2?2x?x2?2xx2?2x从而a≤恒成立，a≤?，x??1，e?．求导，得?． 设t?x??x?lnxx?lnxx?lnx??mint??x???x?1??x?2?lnx?．2 ?x?lnx?x??1，e?，x?1≥0，lnx≤1，x?2?lnx?0， 从而t??x?≥0，t?x?在?1，e?上为增函数． 所以t?x?min?t?1???1，所以a≤?1． ??x3?x2，x?1，（2）F?x???设P?t，F?t??为曲线y?F?x?上的任意一点． alnx，x≥1．?假设曲线y?F?x?上存在一点Q??t，F??t??，使∠POQ为钝角， 则 OP?OQ?0．若t≤-1， P?t，-t3?t2?， Q??t，aln??t??， OP?OQ=?t2?aln(?t)?(?t3?t2)． 由于OP?OQ?0恒成立，a?1?t?ln??t??1． 当t=－1时，a?1?t?ln??t??1恒成立． 当t<－1时，a?11恒成立．由于?0，所以a≤0. 若?1?t?1， (1?t)ln(?t)(1?t)ln(?t)t?0，P?t，-t3?t2?，Q??t，t3?t2?， 高三数学二模参考答案与评分意见 第 3 页 （共 7 页） 则OP?OQ=?t2?(?t3?t2)(t3?t2)?0， t4?t2?1?0对?1?t?1，t?0恒成立． ③ 当t≥1时，同①可得a≤0． 0?． 综上所述，a的取值范围是???，20． 解：因为α，β是方程x2－x－1=0的两个根，所以α+β=1，α·β=-1，β2=β+1. bn+1 （1）由b2= a3－αa2= a1+a2－αa2=1+ a2－αβ=2+ a2，得b2－a2=2. （2）因为= bnan+2－αan+1an+1+an－αan+1 = an+1－αan an+1－αan = (1－α)an+1+anβan+1+anβan+1－αβan = = =β， an+1－αan an+1－αan an+1－αan 又b1= a2－αa1=β－α≠0，所以{bn}是首项为β－α，公比为β的等比数列． （3）由（2）可知 an+1－αan=（β－α）βn1． ① 同理， an+1－βan=α（an－βan-1）．又a2－βa1=0，于是an+1－βan=0． ② 由①②，得 an=β n1.下面我们只要证明：n≥3时， (-1) n1（αcn-2+βcn）= β n1． (-1)n(αcn-1+βcn+1)αcn-1－βcn+βcn-1cn-1－βcncn-2－cn－βcn 因为=－=－=－ αcn-2+βcn αcn-2+βcn αcn-2+βcn (-1)n-1(αcn-2+βcn)cn-2－(1+β)cn－αβcn-2－β2cn =－=－=β． αcn-2+βcn αcn-2+βcn 又c1=1，c2=-1，c3=2，则当n=3时，(-1)2(αc1+βc3)= (α+2β)=1+β=β2， 所以{(-1) n1 (αcn-2+βcn)}是以β2为首项，β为公比的等比数列． (-1) n1 (αcn-2+βcn)是它的第n－2项， 所以(-1) n1 (αcn-2+βcn)= β2·βn3=βn1= an. － － － － － － － － － 高三数学二模参考答案与评分意见 第 4 页 （共 7 页） 数学Ⅱ参考答案与评分建议 21． A． 证明：因AE=AC，AB为直径， 故∠OAC=∠OAE． 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC． 又∠EAC=∠PDE，所以，∠PDE=∠POC． B．选修4－2：矩阵与变换 解：矩阵M的特征多项式为f(?)???1?2?2??2?2??3． ??1令f(?)?0，解得?1?3，?2??1，从而求得对应的一个特征向量分别为 ?1??1?α1???，α2???．令β?mα1?nα2，所以求得m?4， n??3． 1?1????M5??M5(4α1?3α2)?4(M5α1)?3(M5α2)?4(?15α1)?3(?25α2) ?1??1??975??4?35???3(?1)5?????． 1?1969??????C． 解：C1:(x?2)2?(y?2)2?8，圆心C1(2,2)，半径r1?22， C2:(x?1)2?(y?1)2?a2，圆心C2(?1,?1)，半径r2?a． 圆心距C1C2?32，两圆外切时，C1C2?r1?r2?22?a?32，a??2； 两圆内切时，C1C2?r1?r2?22?a?32，a??52． 综上，a??2,或a??52． D．选修4－5：不等式选讲 （本小题满分10分） 已知x，y，z均为正数．求证：xyzyzxz≥1xyx1y1． z高三数学二模参考答案与评分意见 第 5 页 （共 7 页）
南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测试题
